线性代数与simplex

线性方程组：

\(i:1-n\)
\(j:1-m\)
\({\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\~~~~\vdots~~~~~~~~~~~~\vdots~~~~~~~~~~~~\vdots~~~~~~~~~~\vdots~~~~~~~~~~\vdots~~~~~~~~~\vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}}\)
系数矩阵：方程组各项系数\((a_{ij})\)按顺序组成的矩阵\(A\)。
未知数矩阵：未知数\(x_i\)组成的列向量\(X\)。
常数项矩阵：等式右侧常数\((b_j)\)组成的矩阵\(B\)。
增广矩阵：系数矩阵最右侧补充一个常数项矩阵。
线性方程组与矩阵的一个关系：
设两个线性变换：
\({\begin{cases}y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3\\y_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3\end{cases}}\)
\({\begin{cases}x_1=b_{11}t_1+b_{12}t_2\\x_2=b_{21}t_1+b_{22}t_2\\x_3=b_{31}t_1+b_{32}t_2\end{cases}}\)
那么\(y,t\)之间的关系的系数矩阵是
\(\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{matrix}\right)=\cdots\)

simplex：

\(1.\)建立系数矩阵，辅助松弛变量略过。
\(2.\)寻找\(b_l<0\)随机取，若无则\(return\)，寻找\(a_{l,e}<0\)随机取，若无则无解，\(pivot(l,e)\)，重复。
\(3.\)找\(max(c_e)\)，小于0则结束，否则找\(min(b_l/a_{l,e})\)，等于\(INF\)则解为\(INF\)，然后\(pivot(l,e)\)。
注意：
\(1.ans+=c_e\times b_l\)，\(c_e\)为变动前，\(b_l\)为变动后。
\(2.a_{l,e}\)变为倒数，\(e\)列其他为其相反数\(/a_{l,e}\)(原)。
\(3.\)其余相当于把\(a_{l,e}\)变成\(1\)，\(e\)列其他变为\(0\)所做的高斯消元操作。
如何输出解：
\(1.i=1-n,id[i]=i\)
\(2.pivot(l,e)\)时\(swap(id[l+n],id[e])\)（不断记当前列和省略列是哪个变量）。
\(3.x_{id_{n+i}}=b_i\)所有的基变量的取值就是\(b\)，非基变量的取值是\(0\)。

克拉默法则与线性方程组求解：

由\(AX=B\)，得\(X=A^{-1}B\)