bzoj 5291: [Bjoi2018]链上二次求和

Description

有一条长度为n的链（1≤i<n，点i与点i+1之间有一条边的无向图），每个点有一个整数权值，第i个点的权值是

a_i。现在有m个操作，每个操作如下：

操作1（修改）：给定链上两个节点u、v和一个整数d，表示将链上u到v唯一的简单路径上每个点权值都加上d。

操作2（询问）：给定两个正整数L、r，表示求链上所有节点个数大于等于L且小于等于r的简单路径节点权值和之和。

由于答案很大，只用输出对质数1000000007取模的结果即可。

一条节点个数为k的简单路径节点权值和为这条上所有k个节点（包括端点）的权值之和，

而本题中要求是对所有满足要求的简单路径，求这一权值和的和。

由于是无向图，路径也是无向的，即点1到点2的路径与点2到点1的路径是同一条，不要重复计算。

Solution

开始想考虑每个点的贡献,然后发现要分三段讨论,并且维护的东西有点多,写不下去了

最后直接模拟题意:

设 \(s_i\) 为 \(a_i\) 的前缀和, \(ss_i\) 为 \(s_i\) 的前缀和

求 \(\sum_{k=l}^r\sum_{i=k}^n (s_i-s_{i-k})\)

\(\sum_{k=l}^r (\sum_{i=k}^{n}s_i-\sum_{i=0}^{n-k}s_i)\)

\(\sum_{k=l}^r (ss_n-ss_{k-1}-ss_{n-k})\)

\((r-l+1)*ss_n-\sum_{k=l-1}^{r-1}ss_k-\sum_{k=n-r}^{n-l}ss_k\)

线段树维护 \(ss\) 就好了

关于修改:

分两段考虑:

\(l<=i<=r\),\(ss_i\) 加上 \(d*\frac{(i-l+1)*(i-l+2)}{2}\)

\(r<i<=n\), \(ss_i\) 加上 \(d*(\frac{(r-l+1)*(r-l+2)}{2}+(r-l+1)*(i-r)*d)\)

分别是关于 \(i\) 的二次函数和一次函数

维护系数 \(a,b,c\) 就好了

#include<bits/stdc++.h>
#define ls (o<<1)
#define rs (o<<1|1)
using namespace std;
template<class T>void gi(T &x){
	int f;char c;
	for(f=1,c=getchar();c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-')f=-1;
	for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=getchar())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
const int N=2e5+10,mod=1e9+7,inv=166666668,inv2=500000004;
int n,Q,a[N],s[N],ss[N],tr[N*4],A[N*4],B[N*4],C[N*4];
int la,lb,lc;
inline int S1(int l,int r){return (1ll*(l+r)*(r-l+1)>>1)%mod;}
inline int S2(int l,int r){
	int rr=1ll*r*(r+1)%mod*((r<<1)+1)%mod;l--;
	int ll=1ll*l*(l+1)%mod*((l<<1)+1)%mod;
	return 1ll*(rr-ll+mod)*inv%mod;
}
inline void upd(int o){tr[o]=(tr[ls]+tr[rs])%mod;}
inline void build(int l,int r,int o){
	if(l==r){tr[o]=ss[l];return ;}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(l,mid,ls);build(mid+1,r,rs);
	upd(o);
}
inline void pushdown(int o,int l,int r){
	if(!A[o]&&!B[o]&&!C[o])return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	A[ls]=(A[ls]+A[o])%mod;B[ls]=(B[ls]+B[o])%mod;C[ls]=(C[ls]+C[o])%mod;
	A[rs]=(A[rs]+A[o])%mod;B[rs]=(B[rs]+B[o])%mod;C[rs]=(C[rs]+C[o])%mod;

	tr[ls]=(tr[ls]+1ll*S2(l,mid)*A[o])%mod;
	tr[ls]=(tr[ls]+1ll*S1(l,mid)*B[o])%mod;
	tr[ls]=(tr[ls]+1ll*(mid-l+1)*C[o])%mod;
	tr[rs]=(tr[rs]+1ll*S2(mid+1,r)*A[o])%mod;
	tr[rs]=(tr[rs]+1ll*S1(mid+1,r)*B[o])%mod;
	tr[rs]=(tr[rs]+1ll*(r-mid)*C[o])%mod;

	A[o]=B[o]=C[o]=0;
}
inline void mdf(int l,int r,int o,int sa,int se){
	if(sa<=l && r<=se){
		A[o]=(A[o]+la)%mod;B[o]=(B[o]+lb)%mod;C[o]=(C[o]+lc)%mod;
		tr[o]=(tr[o]+1ll*S2(l,r)*la)%mod;
		tr[o]=(tr[o]+1ll*S1(l,r)*lb)%mod;
		tr[o]=(tr[o]+1ll*(r-l+1)*lc)%mod;
		return ;
	}
	pushdown(o,l,r);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(se<=mid)mdf(l,mid,ls,sa,se);
	else if(sa>mid)mdf(mid+1,r,rs,sa,se);
	else mdf(l,mid,ls,sa,mid),mdf(mid+1,r,rs,mid+1,se);
	upd(o);
}
inline int qry(int l,int r,int o,int sa,int se){
	if(sa<=l && r<=se)return tr[o];
	pushdown(o,l,r);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(se<=mid)return qry(l,mid,ls,sa,se);
	if(sa>mid)return qry(mid+1,r,rs,sa,se);
	return (qry(l,mid,ls,sa,mid)+qry(mid+1,r,rs,mid+1,se))%mod;
}
int main(){
	freopen("pp.in","r",stdin);
	freopen("pp.out","w",stdout);
	cin>>n>>Q;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		gi(a[i]),s[i]=(s[i-1]+a[i])%mod,ss[i]=(ss[i-1]+s[i])%mod;
	build(1,n,1);
	int op,x,y,z;
	while(Q--){
		gi(op);gi(x);gi(y);
		if(x>y)swap(x,y);
		if(op==1){
			gi(z);
			z=1ll*z*inv2%mod;
			la=z;lb=1ll*(3-2*x)*z%mod;lc=1ll*z*((1ll*x*x-3*x+2)%mod)%mod;
			if(lb<0)lb+=mod;if(lc<0)lc+=mod;
			mdf(1,n,1,x,y);
			if(y<n){
				z=1ll*z*2%mod;
				la=0;lb=1ll*(y-x+1)*z%mod;
				lc=(1ll*z*((1ll*(y-x+1)*(y-x+2)/2-1ll*(y-x+1)*y)%mod))%mod;
				if(lc<0)lc+=mod;
				mdf(1,n,1,y+1,n);
			}
		}
		else{
			int ans=1ll*(y-x+1)*qry(1,n,1,n,n)%mod;
			if(y-1>0)ans=(1ll*ans-qry(1,n,1,max(x-1,1),y-1)+mod)%mod;
			if(n-x>0)ans=(1ll*ans-qry(1,n,1,max(n-y,1),n-x)+mod)%mod;
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}