字符串编辑距离（Levenshtein距离）算法

基本介绍

　　Levenshtein距离是一种计算两个字符串间的差异程度的字符串度量（string metric）。我们可以认为Levenshtein距离就是从一个字符串修改到另一个字符串时，其中编辑单个字符（比如修改、插入、删除）所需要的最少次数。俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein于1965年提出了这一概念。

简单例子

　　从字符串“kitten”修改为字符串“sitting”只需3次单字符编辑操作，如下：

• sitten ( k -> s )
• sittin ( e -> i )
• sitting ( _ -> g )

　　因此“kitten”和“sitting”的Levenshtein距离为3。

实现思想

　　如何编程实现这一算法呢？许多人试图用矩阵来解释，但实际上矩阵是最终可视化的工具，配合理解“为什么”比较方便，但从矩阵却比较难想到“怎么做”。

　　我们试图找到“从字符串$A$修改到字符串$B$”这一问题的子解结构。当然反过来说“从字符串$B$修改到字符串$A$”和它是同一个问题，因为从$A$中删掉一个字符来匹配$B$，就相当于在$B$中插入一个字符来匹配$A$，这两个操作是可以互相转化的。

　　假设字符序列$A[1\ldots i]$、$B[1\ldots j]$分别是字符串$A$、$B$的前$i$、$j$个字符构成的子串，我们得到一个子问题是“从字符串$A[1\ldots i]$修改到字符串$B[1\ldots j]$”：$$\left[\begin{matrix}\begin{aligned}&A:&&A[1]&&A[2]&&\cdots&&A[i-2]&&A[i-1]&&A[i]\\\\&B:&&B[1]&&B[2]&&\cdots&&B[j-2]&&B[j-1]&&B[j]\end{aligned}\end{matrix}\right]$$

　　① 插入操作：

• • 当将$A[1\ldots i]$修改成$B[1\ldots j-1]$需要操作数为$op_1$，那么我插入一个字符$A[i']=B[j]$到$A[i]$和$A[i+1]$之间，用以匹配$B[j]$，于是$A[1\ldots i]$修改到$B[1\ldots j]$所需操作数为$op_1+1$。$$\left[\begin{matrix}\begin{aligned}&&\cdots&&\color{Red}{A[i-2]}&&\color{Red}{A[i-1]}&&\mathbf{\color{Red}{A[i]}}&&\mathbf{\color{Blue}{A[i']}}&&\\\\&&\cdots&&\color{Red}{B[j-2]}&&\mathbf{\color{Red}{B[j-1]}}&&\mathbf{\color{Blue}{B[j]}}&&\phi&&\end{aligned}\end{matrix}\right]$$

　　② 删除操作：

• • 当将$A[1\ldots i-1]$修改成$B[1\ldots j]$需要操作数为$op_2$，那么我删掉字符$A[i]$也可以$op_2+1$的操作数使两个子字符串匹配：$$\left[\begin{matrix}\begin{aligned}&&\cdots&&\color{Red}{A[i-2]}&&\mathbf{\color{Red}{A[i-1]}}&&\mathbf{\color{Blue}{\phi}}&&\\\\&&\cdots&&\color{Red}{B[j-2]}&&\color{Red}{B[j-1]}&&\mathbf{\color{Red}{B[j]}}&&\end{aligned}\end{matrix}\right]$$

　　③ 修改操作：

• 如果$A[1\ldots i-1]$修改成$B[1\ldots j-1]$所需操作数为$op_3$的话，我将字符$A[i]$替换成$A[i']=B[j]$，就可以$op_3+1$的操作数完成：$$\left[\begin{matrix}\begin{aligned}&&\cdots&&\color{Red}{A[i-2]}&&\mathbf{\color{Red}{A[i-1]}}&&\mathbf{\color{Blue}{A[i']}}&&\\\\&&\cdots&&\color{Red}{B[j-2]}&&\mathbf{\color{Red}{B[j-1]}}&&\mathbf{\color{Blue}{B[j]}}&&\end{aligned}\end{matrix}\right]$$
• 但如果此时字符$A[i]==B[j]$的话，则不需要进行修改操作，操作数仍为$op_3$。

　　综上所述，我们将字符串$A[1\ldots i]$修改成字符串$B[1\ldots j]$所需操作为$min\{op_1+1,\ op_2+1,\ op_3+1_{(a_i\neq b_i)}\}$，其中$1_{(a_i\neq b_i)}$代表当$a_i\neq b_i$时取值$1$，否则取值为$0$。

数学定义

　　数学上，我们定义两个字符串$A$和$B$间的Levenshtein距离为$lev_{A,\ B}(a,\ b)$，其中$a$、$b$分别为字符串$A$、$B$的长度，而$$lev_{A,\ B}(i,\ j)=\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}&i&&,\ j=0\\&j&&,\ i=0\\&min\left\{\begin{matrix}lev_{a,\ b}(i,\ j-1)+1\\lev_{a,\ b}(i-1,\ j)+1\\lev_{a,\ b}(i-1,\ j-1)+1_{(a_i\neq b_i)}\end{matrix}\right.&&,\ otherwise\end{aligned}\end{matrix}\right.$$

　　更多请参考 Wikipedia - Levenshtein_distance。

C++代码

　　有了状态转移方程，我们就可以愉快地DP了，时间复杂度$O(MN)$，空间复杂度$O(MN)$。

 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <algorithm>
 using std::min;
 int lena, lenb;
 char a[], b[];
 void read() {
     scanf("%s%s", a, b);
     lena = strlen(a);
     lenb = strlen(b);
 }

 int dp[][];
 void work() {
     for(int i=; i<=lena; i++) dp[i][] = i;
     for(int j=; j<=lenb; j++) dp[][j] = j;
     for(int i=; i<=lena; i++)
         for(int j=; j<=lenb; j++)
             if(a[i-]==b[j-])
                 dp[i][j] = dp[i-][j-];
             else
                 dp[i][j] = min(dp[i-][j-], min(dp[i][j-], dp[i-][j]))+;
     printf("%d\n", dp[lena][lenb]);
 }

 int main() {
     read();
     work();
     return ;
 }

几个小优化

　　1. 如果满足$A[i]==B[j]$（下标从$1$开始），实际上是可以直接取$lev(i,\ j)=lev(i-1,\ j-1)$的。因为此时字符相同是不需要任何编辑操作的。这一优化也可以从上文转移方程中构造不等关系得出。

　　2. 如果使用滚动数组，则空间复杂度可以降到$O(2*max\{M,\ N\})$。但也可以通过保存$lev(i-1,\ j-1)$来把空间复杂度降到$O(max\{M,\ N\})$，如下：

 int dp[];
 void work() {
     for(int j=; j<=lenb; j++) dp[j] = j;
     int t1, t2;
     for(int i=; i<=lena; i++) {
         t1 = dp[]++;
         for(int j=; j<=lenb; j++) {
             t2 = dp[j];
             if(a[i-]==b[j-])
                 dp[j] = t1;
             else
                 dp[j] = min(t1, min(dp[j-], dp[j]))+;
             t1 = t2;
         }
     }
     printf("%d\n", dp[lenb]);
 }

以上即为Levenshtein距离算法的基本介绍，如果您喜欢，请点个推荐吧~如果您有宝贵意见，欢迎在下方评论区提出哦~

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