洛谷.T22136.最长不下降子序列(01归并排序 分治)

题目链接

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\(Description\)

给定一个长为n的序列，每次可以反转 \([l,r]\) 区间，代价为 \(r-l+1\)。要求在\(4*10^6\)代价内使其LIS长度最长，并输出需要操作的数量及每个反转操作。

\(n\leq32000\)。

\(Solution\)

显然，需要在4e6的代价内将\(1\sim n\)尽可能排好序。(而且不一定要反转一大段区间，可以交换相邻元素实现一个元素的移动)

Subtask2 \(n\leq1000\)

可以用冒泡排序将每个元素放到应放的位置上，每次交换相邻元素，代价\(O(1)\)，总复杂度\(O(\frac{n(n-1)}{2})\)，代价与复杂度相同

可以看出，程序排序所消耗时间可近似看做代价

Subtask3 值域\([0,5]\)

考虑值域仅为\([0,1]\)时应怎么做，序列是由几堆\(00,11\)构成的，用01归并排序 每次将一堆\(0\)与左边的一堆\(1\)互换位置

最后形成\(00001111\)这样的序列，这样可以把\(0,1\)区分出来。01归并排序自带\(1/2\)常数

每次区分两个不同数，一共需要\(5\)次，复杂度/代价为 \(O(2.5nlogn)\)

Total

参考上一个做法，对所有数字进行分治，选择一个值\(mid\)，将\(\geq mid\)的数设为\(0\)，\(<mid\)的数设为\(1\)，每次01归并排序可以区分两堆数。

分治在\(O(\log n)\)层一定会结束。可以按照二进制从高位到低位进行分治。

复杂度/代价为 \(O(0.5nlog^2n)\)，满打满算 \(3.6*10^6\)

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[Update]

另外有一种贪心，就是每次交换相邻的两段\(01\)，比如：10101010->01010101->00101011...。直接这样复杂度是\(n^2\)的。

考虑仍是每次交换相邻的两段\(01\)，但间隔一段\(01\)：10101010->01100110->00011110->00001111。可以发现开头\(0\)的个数呈几何增长（我没发现），所以复杂度\(O(n\log n)\)。但是应该比上面那个难写...但是这个思想应该（可能）很常用。

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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define pr std::pair<int,int>
#define mp std::make_pair
const int N=32010;

int n,A[N];
bool B[N];
std::vector<pr> ans;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
void Rev(int l,int r)
{
	std::reverse(A+l,A+r+1), std::reverse(B+l,B+r+1);
	ans.push_back(mp(l,r));
}
void Solve_01(int l,int r)//将当前[l,r]的01归并排序
{
	if(l==r) return;
	int mid=l+r>>1;
	Solve_01(l,mid), Solve_01(mid+1,r);//将左右子区间化为有序(0011)
	int p1=0,p2=0;//现在[l,r]为0011,0011，找到左边最左的1，右边最右的0，将这一区间交换
	//[l,r] (0)1,0(1)也是有可能的
	for(int i=l; i<=mid; ++i)
		if(B[i]) {p1=i; break;}
	for(int i=r; i>mid; --i)
		if(!B[i]) {p2=i; break;}
	if(p1 && p2) Rev(p1,p2);
}
void Solve_Num(int l,int r,int d)//将当前[l,r]的数按照第d位分为0/1，记录在B中
{
	if(l>r||d==-1) return;
	for(int i=l; i<=r; ++i) B[i]=(A[i]>>d)&1;//按照第d位是否为1分01
	Solve_01(l,r);//以当前01归并
	int p=r;//p为第一个1的位置(如果有)
	//01归并后的序列有三种情况：1.0000；2.1111；3.000111
	//对于1.2显然继续[l,r],d-1的分治排序即可，对于3，只需对0,1的区间分别进行归并即可
	for(int i=l; i<=r; ++i)
		if(B[i]) {p=i-1; break;}
	Solve_Num(l,p,d-1), Solve_Num(p+1,r,d-1);
}

int main()
{
	n=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read();
	Solve_Num(1,n,14);
	printf("%d\n",ans.size());
	for(int i=0; i<ans.size(); ++i) printf("%d %d\n",ans[i].first,ans[i].second);

	return 0;
}