[Catalan数三连]网格&有趣的数列&树屋阶梯

如何让孩子爱上打表

Catalan数

Catalan数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。

以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。

先丢个公式(设第n项为$h_n$)：

$h_n=h_0*h_{n-1}+h_1*h_{n-2}+...+h_{n-1}*h_0,(n \ge 2)$

$h_n=\frac{h_{n-1}*(4n-2)}{n+1}$

$h_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$

应用

出栈次序是卡特兰数的一个应用。

我们将入栈视为+1，出栈视为-1，则限制条件为在任意位置前缀和不小于0 。

我们讨论这个问题与卡特兰数有什么关系。 为了方便，我们按入栈的先后顺序将各个元素由1到n编号。

假设最后一个出栈的数为k。 则在k入栈之前，比k小的数一定全部出栈，所以这部分方案数为h(k-1)。

在k入栈之后，比k大的数在k入栈之后入栈，在k出栈之前出栈，所以这部分的方案数为h(n-k)。

这两部分互不干扰，则方案数为h(k-1)*h(n-k) 枚举k，得到的公式就是卡特兰数的递推公式。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——WangKoala

大部分Catalan数的题目都可以抽象为这样一个模型，所以深刻理解第一个递推式对快速分析出题目与Catalan有关很有帮助。

(其实还是打表最快hhh)

另外，有的题目则根据Catalan数的组合意义构造模型，比如下面的第一道题。

题目

3907: 网格

Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 256 MB
Submit: 1035  Solved: 367
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Description

某城市的街道呈网格状，左下角坐标为A(0,
0)，右上角坐标为B(n, m)，其中n >= m。现在从A(0,
0)点出发，只能沿着街道向正右方或者正上方行走，且不能经过图示中直线左上方的点，即任何途径的点(x, y)都要满足x >=
y，请问在这些前提下，到达B(n, m)有多少种走法。

Input

输入文件中仅有一行，包含两个整数n和m，表示城市街区的规模。

Output

输出文件中仅有一个整数和一个换行/回车符，表示不同的方案总数。

Sample Input

6 6

Sample Output

132

HINT

100%的数据中，1 <= m <= n <= 5 000

 

 

首先考虑n*n的情况。不难发现此时答案即为Catalan数。

如果没有线的限制，从$(0,0)-->(n,n)$的总方案数为$C_{2n}^n$

考虑它的含义：$2n$次操作，其中选$n$次向上走

接下来需要考虑不合法的情况并减去它。

黄线可以看作合法与不合法情况的分界(一碰就不合法)

我们将矩形沿这条线对称过去，那么碰到黄线后走到$(n,n)$的走法 就可以对称为碰到黄线走到$(n-1,n+1)$的走法。

那么显然不合法方案数为$C_{2n}^{n-1}$。($2n$次操作中有$n-1$次向右，你把它写成$C_{2n}^{n+1}$也无所谓 反正它们相等)

至于$n!=m$的情况，以此类推即可。

$ans=C_{n+m}^n-C_{n+m}^{m-1}$

对于组合数计算，分解质因数约分后用高精乘低精统计即可。没必要高精除。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
int n,m;
int pri[],tot,vis[];
int bu[],num1[],num2[],ans[];
void getpri()
{
    for(int i=;i<=;i++)
    {
        if(!vis[i])pri[++tot]=i;
        for(int j=;j<=tot;j++)
        {
            if(i*pri[j]>)break;
            vis[i*pri[j]]=;
            if(i%pri[j]==)break;
        }
    }
}
void print(int a[])
{
    for(int i=a[];i>=;i--)
        printf("%d",a[i]);
    puts(" ");
}
void div1(int x)
{
    for(int i=;pri[i]<=x&&x!=;i++)
        while(x%pri[i]==)x/=pri[i],bu[i]++;
}
void div2(int x)
{
    for(int i=;pri[i]<=x&&x!=;i++)
        while(x%pri[i]==)x/=pri[i],bu[i]--;
}
void mult(int x,int a[])
{
    int k=;
    for(int i=;i<=a[];i++)
    {
        int tmp=a[i]*x+k;
        a[i]=tmp%;
        k=tmp/;
    }
    while(k)a[++a[]]=k%,k/=;
}
void Minus(int a[],int b[])
{
    int j=,x=;
    while(j<=a[]||j<=b[])
    {
        if(a[j]<b[j])
        {
            a[j]+=;
            a[j+]--;
        }
        ans[j]=a[j]-b[j];
        j++;
    }
    int k=j;
    while(ans[k]==&&k>)k--;
    ans[]=k;
}
int main()
{
    getpri();
    scanf("%d%d",&n,&m);
/*    div1(n);
    for(int i=1;i<=10;i++)cout<<bu[i]<<' ';
    div2(m);
    for(int i=1;i<=10;i++)cout<<bu[i]<<' ';*/
    for(int i=n+m;i>=m+;i--)
        div1(i);
    for(int i=n+;i>=;i--)
        div2(i);
    num1[]=num1[]=;
    for(int i=;i<=;i++)
    {
        if(!pri[i])break;
        if(!bu[i])continue;
        while(bu[i])
            mult(pri[i],num1),bu[i]--;

    }
    //print(num1);
    for(int i=;i<=num1[];i++)
        num2[i]=num1[i];
    mult(n+,num1);mult(m,num2);
    //print(num1);print(num2);
    Minus(num1,num2);
    print(ans);
    return ;
}

1485: [HNOI2009]有趣的数列

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 64 MB
Submit: 2252  Solved: 1205
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Description

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

(2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

(3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5

对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

打表找规律可得答案为Catalan数。

这题如果强行想的话会很困难 而且比较浪费时间 所以不如直接打表找规律。

还是分解质因数约分，统计时取模即可。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod,ans=;
int n,pri[],tot,vis[];
int bu[],maxi=,res[];
void getprime()
{
    for(int i=;i<=*n;i++)
    {
        if(!vis[i])pri[++tot]=i,res[i]=tot;
        for(int j=;j<=tot;j++)
        {
            if(i*pri[j]>*n)break;
            vis[i*pri[j]]=;res[i*pri[j]]=j;
            if(i%pri[j]==)break;
        }
    }
}
void divi(int x,int val)
{
    while(x!=)bu[res[x]]+=val,x/=pri[res[x]];
}
int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&mod);
    getprime();
    for(int i=*n;i>=n+;i--)
        divi(i,);
    for(int i=n+;i>=;i--)
        divi(i,-);
    for(int i=;i<=tot;i++)
        while(bu[i]--)ans=1LL*pri[i]*ans%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return ;
}

2822: [AHOI2012]树屋阶梯

Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 1204  Solved: 716
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Description

暑假期间，小龙报名了一个模拟野外生存作战训练班来锻炼体魄，训练的第一个晚上，教官就给他们出了个难题。由于地上露营湿气重，必须选择在高处的树屋露营。小龙分配的树屋建立在一颗高度为N+1尺（N为正整数）的大树上，正当他发愁怎么爬上去的时候，发现旁边堆满了一些空心四方钢材（如图1.1），经过观察和测量，这些钢材截面的宽和高大小不一，但都是1尺的整数倍，教官命令队员们每人选取N个空心钢材来搭建一个总高度为N尺的阶梯来进入树屋，该阶梯每一步台阶的高度为1尺，宽度也为1尺。如果这些钢材有各种尺寸，且每种尺寸数量充足，那么小龙可以有多少种搭建方法？（注：为了避免夜里踏空，钢材空心的一面绝对不可以向上。）

 

以树屋高度为4尺、阶梯高度N=3尺为例，小龙一共有如图1.2所示的5种

搭 建方法：

Input

一个正整数 N(1≤N≤500)，表示阶梯的高度

Output

一个正整数，表示搭建方法的个数。（注：搭建方法个数可能很大。）

Sample Input

3

Sample Output

5

HINT

1  ≤N≤500

一个大小为i的阶梯，都可以看作由左上角一块j和右下角一块i-j-1的阶梯，再用矩形填充空缺构成。

这样构成的阶梯算下来正好是用i个钢材，且方案各不相同。

j在0--i-1取值，可得方案数的递推式：

$h_n=h_0*h_{n-1}+h_1*h_{n-2}+...+h_{n-1}*h_0,(n \ge 2)$

这显然就是Catalan的递推式。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n;
int pri[],tot,vis[],res[];
int bu[],ans[];
void getpri()
{
    for(int i=;i<=*n;i++)
    {
        if(!vis[i])pri[++tot]=i,res[i]=tot;;
        for(int j=;j<=tot;j++)
        {
            if(i*pri[i]>*n)break;
            vis[i*pri[j]]=;res[i*pri[j]]=j;
            if(i%pri[j]==)break;
        }
    }
}
void print(int a[])
{
    for(int i=a[];i>=;i--)
        printf("%d",a[i]);
    puts(" ");
}
void divi(int x,int val)
{
    while(x!=)bu[res[x]]+=val,x/=pri[res[x]];
}
void mult(int x,int a[])
{
    int k=;
    for(int i=;i<=a[];i++)
    {
        int tmp=a[i]*x+k;
        a[i]=tmp%;
        k=tmp/;
    }
    while(k)a[++a[]]=k%,k/=;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    getpri();
    for(int i=*n;i>=n+;i--)
        divi(i,);
    for(int i=n+;i>=;i--)
        divi(i,-);
    ans[]=ans[]=;
    for(int i=;i<=tot;i++)
        while(bu[i]--)mult(pri[i],ans);
    print(ans);
    return ;
}