Solution Set - SAM

讲解一些 SAM 经典的应用。可以结合 字 符 串 全 家 桶 中 SAM 的部分食用。

洛谷P2408

求不同子串个数。在 SAM 中，所有结点是一个等价类，包含的字符串互不相同。结点 \(u\) 中包含的子串数目就是 \(\text{len}(u)-\text{len}(\text{slink}(u))\)，对所有结点求和即可。

洛谷P3804

丢到 SAM 上，会发现是要求每个结点的 \(\text{endpos}\) 大小。这个值等于它在 \(\text{parent}\) 树上子树内前缀结点的数目。前缀结点就是那些包含了整个字符串的某个前缀的结点。事实上，一个结点的 \(\text{endpos}\) 集合就是它子树内所有前缀结点的位置的集合。如果直接建出树来常数较大，可以按照 \(\text{len}\) 排序从大到小贡献，使用基数排序。

洛谷P4070

动态不同子串个数。考虑一次插入对答案的影响：

• 如果只新建了一个结点，也就是前两个 case，这时原有结点的 \(\text{slink}\) 都没有修改，所以只用加上 \(\text{len}(cur)-\text{len}(\text{slink}(cur))\)；
• 如果新建了两个结点，也就是第三个 case，此时 \(q\) 的 \(\text{slink}\) 跑到了 \(r\) 上，\(r\) 的 \(\text{slink}\) 又等于 \(q\) 原来的 \(\text{slink}\)，一进一出相当于没有变化，所以也只用加上 \(\text{len}(cur)-\text{len}(\text{slink}(cur))\)。

其实也很好理解，表示整个串的结点的 \(\text{endpos}\) 当然就是 \(\{n\}\)，也就包含了所有新出现的子串。

另外这题范围很大，需要用 map 记转移。

CF235C

一个串循环发生了什么变化？删除开头字符，加上结尾字符。而这两个操作都是容易在 SAM 上完成的。后者就是自动机的转移，而前者只需要检查长度然后判断是否需要跳到 parent tree 上的父亲结点即可。具体到这道题上，我们相当于把询问串读入两遍，对每个前缀找到能够匹配的最长后缀，要求这个后缀的长度不超过询问串的长度。右移一位时，如果刚才匹配到了就先删除开头字符，然后再尝试加上结尾字符，如果不行就跳父亲。

洛谷P6640

这题更加直接的展示了 SAM 容易删除开头字符的特性：我们可以对每个 \(i\) 求出 \(s[1\cdots i]\) 出现在 \(t\) 中的最长后缀。具体地，在自动机上维护一个指针，表示当前的后缀。加入字符时，不断跳 parent 树上的父亲直到存在转移。求出这个最长后缀 \(f_i\) 后，对每个询问二分答案，在 ST 表上查询区间最大值即可。

SPOJ-JZPGYZ

这道题需要使用广义 SAM。可以在每两个字符串之间加特殊字符，或者直接在处理完每个字符串之后把 lst 置 \(0\)。给每个字符串的前缀位置染色，对于每个询问，找到这个字符串在广义 SAM 上对应的结点（如果不存在则答案为 \(0\)），然后答案就就是这个结点子树内的颜色数目。离线二维数点。

洛谷P3346

这一题同样需要广义 SAM。事实上上一题提到的两种 SAM 应当称为“伪广义 SAM”，它们可能会产生空结点。标准的广义 SAM 需要先建出 Trie 树，然后 BFS 遍历整棵树，记录下加入 Trie 树上每个结点之后 SAM 的 pos，每个结点就在父亲结点的 pos 基础上加入。回到本题，先对于每个叶子结点遍历一遍全树，建立 Trie 树，然后建出广义 SAM 求解即可。

CF653F

感觉做法有点抽象。仍然是建出 SAM。对于 SAM 的每个结点，取它 endpos 集合里的一个右端点，把这个长度区间丢到这个右端点上。然后对于每个右端点 \(r\)，一个合法的左端点 \(l\) 要求前缀和 \(s_{l-1}=s_r\)，且 \(s_r\) 是 \([l,r]\) 的最小值。对于后者可以倍增，对于前者可以拆成两个询问，离线，然后扫描一遍开桶统计。

CF1037H

建出字符串 \(S\) 的 SAM。对于一个询问串 \(T\)，字典序大于它的最小字符串一定是 \(T\) 的某个前缀 \(T_{1\cdots i}\) 加上一个大于 \(T_{i+1}\) 的字符。那么在 SAM 上找到 \(T_{1\cdots i}\) 对应的结点，遍历它大于 \(T_{i+1}\) 的出边，就只要判断到达的结点的子树内是否包含了一个 \([L+i,R]\) 内的前缀结点。这可以用可持久化线段树维护 DFS 序实现。

SPOJ-REPEATS

这是一个 border 相关的问题。我们发现，如果一个串同时出现在两个位置，设这两个位置的差为 \(d\)，这个串的长为 \(len\)，则一定有一个字符串连续重复出现 \(\lfloor\frac{len}{d}\rfloor+1\) 次，也就是开头不重叠的那一部分。所以只要求出每个点 endpos 集合内差的最小值即可。用线段树合并实现。

CF666E

这道题用到 SAM 的技巧是：要多次在模式串上匹配一个串的某个区间时，可以预处理出每个位置的最长匹配后缀，然后倍增跳 parent tree。剩下的就是一个线段树合并。