cf1453F 二维DP 思维

cf1453F 二维DP 思维

原题链接

题意

目前我们有一个序列，在第i个点可以走到[i + 1, i + a[i]]区间内的任意一点（也就是说如果a[i]是0，路就走不通了）

现在要求我们将一些位置置零，使得从1走到n只有一条路径。输出最小置零数量，保证输入有解。

思路

• 因为n<=3000，所以尝试二维动态规划。首先设计状态是最重要的一步，我们定义 \(F_{i,j}\) 为从1到i仅有一条路径，且路径中的点最远到达不超过j，这种情况下的最小置零个数。
• 那么显然 \(F_{1,j}\) 全为0，答案为 \(F_{n,n}\)
• 从2开始计算，对于当前的i，我们枚举i - 1 ~ 1的所有点，如果有 \(j + a_j \ge i\)，那么我们当前的 \(F_{i,j + a_j}\)就是可以更新的, 转移方程如下

\[F_{i,j + a_j} = min(F_{i,j + a_j}, F_{j, i - 1} + cnt)
\]

其中cnt是从j + 1到i - 1所有的点中，能够到达i的点的数量（就是说这些cnt个点都需要置零）,由于我们是从i - 1到1的顺序枚举的，所以cnt可以顺带记录

AC代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

int ff[3005][3005], aa[3005];
int t, n; 

int main()
{
	scanf("%d", &t);
	while (t--)
	{
		scanf("%d", &n);
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
		{
			scanf("%d", &aa[i]);
			for (int j = 1; j <= n; ++j)
			{
				ff[i][j] = 99999999;
			}
		}
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
		{
			ff[1][i] = 0;
		}
		for (int i = 2; i <= n; ++i)
		{
			int cnt = 0;
			for (int j = i - 1; j >= 1; --j)
			{
				if (j + aa[j] >= i)
				{
					ff[i][j + aa[j]] = min(ff[i][j + aa[j]], ff[j][i - 1] + cnt);
					++cnt;
				}
			}
			for (int j = i + 1; j <= n; ++j)
			{
				ff[i][j] = min(ff[i][j - 1], ff[i][j]);
			}
		}
		printf("%d\n", ff[n][n]);
	}
	return 0;
}