P9482 [NOI2023] 字符串 题解

\(36pts\)

\(O(tqn^2)\)暴力即可

\(40pts\)

对于最朴素的暴力优化，从头到尾扫，如果已经当前位字符比出优先级，那么直接能判断了，没必要往后跑了，第15个性质B的也给跑过了，我没料到，不过数据强一点其实和20pts没区别

\(性质A(60pts)\)

没有想出来

\(性质B(72pts)\)

写这个性质只有12pts，但是对于思考正解有很大帮助

给定st和r，题目让我们求 \(s[st,st+l-1]\) 字典序小于 \(R(s[st+l,st+2l-1])\) 且 1<=l<=r 的个数，先把反串接在后面，用特殊符号连接。既然这个东东很像回文，那我们就把他搞成成前缀或后缀表示，采用放缩法，于是上面的东东相当于是： \(s[st,n]<=s[1,st+2l-1]\) ，跟上面的东东没两样，然后就是st开始的后缀小于st+2l-1结尾的前缀，感觉是SA+ds状物(SAM维护不了rank)。按照这样子搞显然会出现重复，不过写B性质绰绰有余，正解感觉就是搞个容斥减掉贡献了

令\(n=|S+char+revS|\)

那么 \(yn=|S| ，有n=2yn+1\)

所以需要求 pos属于 \([n+2-st-2r,n-st]\) 且满足 pos和st奇偶性相同，rank[st]<rank[p]的个数

就变成了经典模型二维数点，但是需要分奇偶去搞，分奇偶去搞的原因如下：

\(A=S[st,st+l-1],B=S[st+l,st+2l-1]\)

我们尝试将 \(l\) 增加一位，比较的两个子串变成了 \(A'=S[st,st+l],B'=S[st+l+1,st+2l+1]\)

我们发现 \(B'\) 的右端点较 \(B\) 的右端点增加了 \(2\)．

可以发现，在固定 \(l\) 的前提下，\(B\) 的右端点奇偶性是固定的， 所以我们需要将询问按 \(l\) 的奇偶性分别建立树状数组．

正解

在B性质基础上，考虑容斥，非法情况就是 \(S[st,st+2l-1]\) 构成回文串，并且 \(rank[st]<rank[st+2l-1]\) ，那就要减掉1种情况

现在想怎么搞出回文串，显然是要找偶回文，因为你没有理由中间有个字符（但是我们可以假设回文中心是 \(i+\frac{1}{2}\) ）然后对于所有以某个位置为回文中心的所有偶回文串，针对 \(s[i...]和revs[..j]\) 要么全产生贡献，要么全都不产生贡献，所以就不需要用PAM和Manacher了，然后我们求回文串是什么，显然转化成了SA的经典问题，求任意两个后缀的lcp，不过要注意两个串是同一个（不过本质上是一样的），然后对于每一个 \(i\)，扫过去的时候就又是个二维数点了