【JZOJ3424】粉刷匠

description

赫克托是一个魁梧的粉刷匠，而且非常喜欢思考= =

现在，神庙里有N根排列成一直线的石柱，从1到N标号，长老要求用油漆将这些石柱重新粉刷一遍。赫克托有K桶颜色各不相同的油漆，第i桶油漆恰好可以粉刷Ci根石柱，并且，C1+C2+C3…CK=N（即粉刷N根石柱正好用完所有的油漆）。长老为了刁难赫克托，要求相邻的石柱颜色不能相同。

喜欢思考的赫克托不仅没有立刻开始粉刷，反而开始琢磨一些奇怪的问题，比如，一共有多少种粉刷的方案？

为了让赫克托尽快开始粉刷，请你尽快告诉他答案。

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analysis

• 一道很好的\(DP\)

• 设\(f[i][j]\)表示填到第\(i\)种颜色、有\(j\)个非法空的方案数

• 合法空即空格两边颜色不同，非法空则相同，设\(sum\)为当前空的个数

• 枚举当前\(a[i]\)个颜色放入\(k\)个非法空，\(l\)个合法空

• \(j\)个里放入了\(k\)个非法空那么\(j-k\)，剩下\(a[i]-k-l\)个放到哪里都会产生新非法空

• 可知\(f[i-1][j]\)会转移到\(f[i][j+a[i]-2k-l]\)

• 因为\(a[i]\)个颜色插到\(k+l\)个空里，由插板法知有\(C^{k+l-1}_{a[i]-1}\)种方案

• 因为\(j\)个非法空要选择\(k\)个非法空，所以有\(C^{k}_{j}\)种方案

• 因为\(sum-j\)个合法空要选择\(l\)个合法空，所以有\(C_{sum-j}^{l}\)种方案

• 由于数的最左最右边都有空，所以\(sum=\sum_{i}a[i]+1\)，最后\(f[n][0]\)即为答案

• 下次遇到较难的题，多想\(DP\)，多打草稿，不要怕麻烦

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code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)

using namespace std;

ll C[105][105],f[25][105];
ll a[20];
ll n,T,sum;

inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
int main()
{
	freopen("T3.in","r",stdin);
	C[0][0]=1;
	fo(i,1,100)
	{
		C[i][0]=1;
		fo(j,1,i)C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
	}
	T=read();
	while (T--)
	{
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(f,0,sizeof(f));
		n=read(),f[0][0]=1,sum=0;
		fo(i,1,n)a[i]=read();
		fo(i,1,n)
		{
			fo(j,0,sum+1)fo(k,0,min(j,a[i]))fo(l,0,min(a[i]-k,sum-j+1))
			if (k+l)(f[i][j+a[i]-2*k-l]+=(((f[i-1][j]*C[a[i]-1][k+l-1])%mod*C[j][k])%mod*C[sum-j+1][l])%mod)%=mod;
			sum+=a[i];
		}
		printf("%lld\n",f[n][0]);
	}
	return 0;
}