「中山纪中集训省选组D1T1」最大收益 贪心

题目描述

给出\(N\)件单位时间任务，对于第\(i\)件任务，如果要完成该任务，需要占用\([S_i, T_i]\)间的某个时刻，且完成后会有\(V_i\)的收益。求最大收益。

澄清：一个时刻只能做一件任务，做一个任务也只需要一个时刻。

输入格式

第一行一个整数\(N\)，表示可供选择的任务个数。

接下来的第二到第\(N+1\)行，每行三个数，其中第\(i+1\)行依次为\(S_i,T_i,V_i\)。

输出格式

输出最大收益

样例

样例输入1

2
1 1 1
1 1 2

样例输出1

2

样例输入2

3
1 1 5
2 2 3
1 2 4

样例输出2

9

样例输入3

6
1 2 10
2 3 10
3 4 10
4 5 10
1 1 5
5 5 6

样例输出3

46

数据范围

在所有数据中，\(N\leq5000，1\leq S_i\leq 10^8，1\leq V_i \leq 10^8\)。

题解

我又诈尸了。

来到中山纪中集训，省选组的题目第一天就这么神（集训队的题能不神么）……真是\(Orz\)，咱全场几乎爆零成功垫底。

回到题目，直接说正解。考虑将任务的价值从大到小排序，假设我们已经安排好了前\(i-1\)个任务，其中要完成的任务集合是\(S\)。如果要完成第\(i\)个任务会导致原来处于\(S\)的任务中的一个无法完成，那么我们果断放弃第\(i\)个任务（因为如果换做完成\(i\)，并没有腾出更多时间，但却丢失了更多价值），否则我们没有理由不完成\(i\)个任务。

那么我们只需要完成一步就好了，那就是判断将任务\(i\)加入集合\(S\)后是否能让所有任务都能找到时间做。这个东西我们可以用一个简单粗暴的方法，每次从任务\(i\)的起始时间开始找，如果这个时间没有被占领，那么占领，结束。否则找到占领该时间的任务，记作\(j\)。此时就存在一个选择，到底是让\(i\)去后面找时间还是让\(j\)找？显然，能拖得更久的任务去尝试更好，也就是结束时间更晚的那一个去找。就这样递归下去，直到不冲突或者超出任务的结束时间为止（超出了当然就得放弃任务了……）。每次最多遇到\(i-1\)次冲突（因为最多也只有\(i-1\)个任务），判断一次的复杂度是\(O(n)\)的。

这里有一个空间上的优化。其实有用的时间其实并不多，我们将他们记为“活跃点”。我们从每个任务的起始时间开始找，找到第一个空位，就将它加入“活跃点”，显然只考虑活跃点的情况下仍然可以达到最优，这样可以把空间也优化到\(O(n)\)（然而代价是时间复杂度有了离散化时的\(log\)）。

\(Code:\)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 5005
#define ll long long
int n;
struct node
{
	int s, t, v;
}S[N];
bool cmp1(node a, node b){return a.s < b.s;}
bool cmp2(node a, node b){return a.v > b.v;}
int data[N], plc[N];
int Find(int x, int p)
{
	if (p > S[x].t)
		return 0;
	if (!plc[p])
	{
		plc[p] = x;
		return 1;
	}
	if (S[plc[p]].t < S[x].t)
		return Find(x, p + 1);
	if (Find(plc[p], p + 1))
	{
		plc[p] = x;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d%d%d", &S[i].s, &S[i].t, &S[i].v);
	sort(S + 1, S + n + 1, cmp1);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		data[i] = max(data[i - 1] + 1, S[i].s);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		S[i].s = lower_bound(data + 1, data + n + 1, S[i].s) - data;
		S[i].t = upper_bound(data + 1, data + n + 1, S[i].t) - data - 1;
	}
	sort(S + 1, S + n + 1, cmp2);
	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (Find(i, S[i].s))
			ans += S[i].v;
	printf("%lld\n", ans);
}