【DP】【期望】$P1850$换教室

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题目描述

有 \(2n\) 节课程安排在$ n$ 个时间段上。在第 \(i\)（\(1 \leq i \leq n\)）个时间段上，两节内容相同的课程同时在不同的地点进行，其中，牛牛预先被安排在教室 \(c_i\)上课，而另一节课程在教室 \(d_i\)进行。

在不提交任何申请的情况下，学生们需要按时间段的顺序依次完成所有的 \(n\)节安排好的课程。如果学生想更换第 \(i\)节课程的教室，则需要提出申请。若申请通过，学生就可以在第 $i $个时间段去教室 \(d_i\) 上课，否则仍然在教室 \(c_i\)上课。

牛牛发现申请更换第\(i\)节课程的教室时，申请被通过的概率是一个已知的实数 \(k_i\)，并且对于不同课程的申请，被通过的概率是互相独立的。

所有的申请只能一次性提交，并且每个人只能选择至多 \(m\)节课程进行申请。

牛牛所在的大学有 \(v\)个教室，有 \(e\) 条道路。每条道路连接两间教室，并且是可以双向通行的。由于道路的长度和拥堵程度不同，通过不同的道路耗费的体力可能会有所不同。 当第 \(i\)（\(1 \leq i \leq n-1\)）节课结束后，牛牛就会从这节课的教室出发，选择一条耗费体力最少的路径前往下一节课的教室。

现在牛牛想知道，申请哪几门课程可以使他因在教室间移动耗费的体力值的总和的期望值最小。

输入格式

第一行四个整数 \(n,m,v,e\)。

第二行 \(n\) 个正整数，第 \(i\)（\(1 \leq i \leq n\)）个正整数表示 c\(c_i\)，即第\(i\)个时间段牛牛被安排上课的教室；保证 \(1 \le c_i \le v\)。

第三行 \(n\) 个正整数，第 \(i\)（\(1 \leq i \leq n\)）个正整数表示 \(d_i\)，即第 $i $个时间段另一间上同样课程的教室；保证 \(1 \le d_i \le v\)。

第四行 \(n\) 个实数，第 \(i\)（\(1 \leq i \leq n\)）个实数表示 \(k_i\)，即牛牛申请在第 \(i\)个时间段更换教室获得通过的概率。保证 \(0 \le k_i \le 1\)。

接下来 \(e\) 行，每行三个正整数 \(a_j, b_j, w_j\)，表示有一条双向道路连接教室 \(a_j, b_j\)，通过这条道路需要耗费的体力值是 \(w_j\)；保证 \(1 \le a_j, b_j \le v\)， \(1 \le w_j \le 100\)。

保证 \(1 \leq n \leq 2000\)，\(0 \leq m \leq 2000\)，\(1 \leq v \leq 300\)，\(0 \leq e \leq 90000\)。

保证通过学校里的道路，从任何一间教室出发，都能到达其他所有的教室。

保证输入的实数最多包含 \(3\)位小数。

输出格式

输出一行，包含一个实数，四舍五入精确到小数点后恰好\(2\)位，表示答案。你的输出必须和标准输出完全一样才算正确。

测试数据保证四舍五入后的答案和准确答案的差的绝对值不大于 \(4 \times 10^{-3}\)。 （如果你不知道什么是浮点误差，这段话可以理解为：对于大多数的算法，你可以正常地使用浮点数类型而不用对它进行特殊的处理）

样例

3 2 3 3
2 1 2
1 2 1
0.8 0.2 0.5
1 2 5
1 3 3
2 3 1

2.80

提示

1. 道路中可能会有多条双向道路连接相同的两间教室。 也有可能有道路两端连接的是同一间教室。
2. 请注意区分\(n,m,v,e\)的意义, \(n\)不是教室的数量, \(m\)不是道路的数量。

\(Solution\)

考虑DP。状态怎么设？显然第几节课需要在状态里。还要保证最多换\(m\)次，因此次数也要在状态里。那么，怎么从上一节课转移呢？显然如果我们不知道上一节课在哪个教室上的，就无法转移。因此，还要在加一维，记录当前是否申请换教室。

因此，状态就是\(f[i][j][k], 1 \leq i \leq n, 0 \leq j \leq m, 0 \leq k \leq 1\)，表示前\(i\)节课，换了\(j\)次教室，第\(i\)次换或不换的期望。

至于转移则比较简单了

f[i][j][0] = min(f[i - 1][j][0] + w[c[i]][c[i - 1]],
			    f[i - 1][j][1] + w[c[i]][d[i - 1]] * k[i - 1]
			    + w[c[i]][c[i - 1]] * (1 - k[i - 1]));
f[i][j][1] = min(f[i - 1][j - 1][0] + w[c[i]][c[i - 1]] * (1 - k[i]) + w[d[i]][c[i - 1]] * k[i],
			    f[i - 1][j - 1][1] + w[d[i]][d[i - 1]] * k[i - 1] * k[i]
			    + w[c[i]][c[i - 1]] * (1 - k[i - 1]) * (1 - k[i])
			    + w[c[i - 1]][d[i]] * (1 - k[i - 1]) * k[i]
			    + w[d[i - 1]][c[i]] * k[i - 1] * (1 - k[i]));

如图为当前不选择换教室

如图为当前选择换教室

这道题还有几点需要主意的，在预处理部分。具体看代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
long long read(){
  long long x = 0; int f = 0; char c = getchar();
  while(c < '0' || c > '9') f |= c == '-', c = getchar();
  while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
  return f? -x:x;
}

int n, m, V, E, c[2002], d[2002], w[305][305];
double f[2002][2002][2], k[2002], ans;
int main(){
  memset(w, 63, sizeof w);//距离初始化
  n = read(); m = read(); V = read(); E = read();
  for(int i = 1; i <= n; ++i) c[i] = read();
  for(int i = 1; i <= n; ++i) d[i] = read();
  for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lf", &k[i]);
  for(int i = 1; i <= E; ++i){
  	int x = read(), y = read(), z = read();
  	w[x][y] = w[y][x] = min(w[x][y], z);//有可能重边
  }
  for(int l = 1; l <= V; ++l)
    for(int i = 1; i <= V; ++i)
      for(int j = 1; j <= V; ++j)
        w[i][j] = min(w[i][j], w[i][l] + w[l][j]);//floyed最短路
  for(int i = 1; i <= V; ++i) w[i][i] = w[i][0] = w[0][i] = 0;//初始化
  for(int i = 1; i <= n; ++i) f[i][0][0] = f[i - 1][0][0] + w[c[i]][c[i - 1]], f[i][0][1] = 1e9;
    //初始化，处理一个也不申请的情况
  for(int i = 1; i <= n; ++i)
    for(int j = 1; j <= m; ++j){
      f[i][j][0] = min(f[i - 1][j][0] + w[c[i]][c[i - 1]],
			           f[i - 1][j][1] + w[c[i]][d[i - 1]] * k[i - 1]
                        + w[c[i]][c[i - 1]] * (1 - k[i - 1]));
      f[i][j][1] = min(f[i - 1][j - 1][0] + w[c[i]][c[i - 1]] * (1 - k[i])
                       + w[d[i]][c[i - 1]] * k[i],
			          f[i - 1][j - 1][1] + w[d[i]][d[i - 1]] * k[i - 1] * k[i]
					  + w[c[i]][c[i - 1]] * (1 - k[i - 1]) * (1 - k[i])
					  + w[c[i - 1]][d[i]] * (1 - k[i - 1]) * k[i]
					  + w[d[i - 1]][c[i]] * k[i - 1] * (1 - k[i]));
    }
  double ans = f[n][0][0];
  for(int i = 1; i <= m; ++i) ans = min(ans, min(f[n][i][1], f[n][i][0]));//更新答案
  printf("%.2lf", ans);
  return 0;
}