something about 乘法逆元

before　

在求解除法取模问题(a / b) % m时，我们可以转化为(a % (b * m)) / b，
但是如果b很大，则会出现爆精度问题，所以我们避免使用除法直接计算。
(逆元就像是倒数一样的东西吧??)

可以使用逆元将除法转换为乘法：
　　假设b存在乘法逆元，即与m互质（充要条件）。设c是b的逆元，即b * c≡1(modm)，那么有a/b=(a/b)*1=(a/b)*b*c=a*c(%m)
　　即，除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模。

注意：在模意义下的加减乘运算都是具有封闭性的，但除法确是例外，所以我们就要找一种在模意义下代替除法运算的东西.

乘法逆元定义  --  若正整数 a,b,p 满足a*b=1(% p),则a，b互为逆元,记b=inv（a）或b=a^(-1).

比如说, 在模7 意义下,3 的乘法逆元是5, 也可以说模7 意义下5的乘法逆元是3.
　　　问: 模13 意义下5 的逆元是什么? asnwer：8
　　　问: 模6 意义下2 的逆元是什么? answer: .

定理 -- (乘法逆元存在性定理)
考虑同余方程:
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ab ≡ 1(mod p)
　　若a 与p 互质, 则一定存在一个正整数解b, 满 b < p.
　　若a 与p 不互质, 则一定不存在正整数解b.
　　意思也就是说, 互质与乘法逆元存在互为充要条件.
证明:(ZL)

now

求解乘法逆元一般有三种方法：
　　1.逆元求解一般利用扩展欧几里得。
　　2.当p为质数的时候直接使用费马小定理，p非质数使用欧拉函数。
　　3.当p为质数的时候，神奇的线性方法。

首先来说一下扩展欧几里得求逆元

　　对于一个数a，求其在 % p 下的逆元b，就是求ab ≡ 1(mod p)

　　证明：

　　　　　上式变化：

　　　　　　　　a * x + b * y = 1;
　　　　　由欧几里得有：
　　　　　　　　gcd( a , b )=gcd( b , a % b );
　　　　　得
　　　　　　　　a * x + b * y = b * x2 + (a % b) * y2;
　　　　　推得：
　　　　　　　　a % b = a - a / b * b;
　　　　　将其代入原式化简得：
　　　　　　　　a * x + b * y = b * x2 + ( a - a / b * b ) y2;
　　　　　所以：
　　　　　　　　a * x + b * y = b * x2 + a * y2 - a / b * b * y2
　　　　　　　　x = y2,y = x2 - a / b * y2;
　　　　　于是可以递归求解.
　　　　　易得当 b = 0 时，x = 1 ，y = 0 , 这也就是递归的边界.

　code

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==)
    {
        x=,y=;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y),tmp;
    tmp=x,x=y,y=tmp-a/b*y;
    return r;
}

然后费马小定理求解逆元

费马小定理求解逆元(up):仅仅当p为质数的时.

　　各种情况的证明

　　TL1. 在p是素数的情况下，对任意整数x都有x^p≡x(mod)p。
　　TL2. 如果x无法被p整除，则有x^(p-1)≡1(modp)。
　　TL3. 可以在p为素数的情况下求出一个数的逆元，x*x^(p-2)≡1(modp)，x^(p-2)即为逆元.

　　TL1.证明：
　　首先强调p是素数
　　那么将p次方拆开，用每个数 % p，将会得到一个 < = p 的数k ，k 的p次方的形式，由于p
　　是一个质数，那么，k 如果 不是 1，它就一定与 p 互质，然后根据 费马小定理证明.
　　( x * x * x * x * x * x * x ) % 7 = ( y * y * y * y * y * y * y ) % 7
　　TL2.证明：
　　费马小定理正理
　　TL3.证明：
　　根据费马小定理 a ^ ( p - 1 ) = 1 ( % p ).

综上我们可以知道代码就是快速幂嘛

code

int fast_pow(int x,int p)
{
    int now=;
    while(p)
    {
        if(p&)
         {
             now=now*x;
         }
         x=x*x;
         p>>=;
    }
    return now;
}

最后神奇的线性求逆元

※

ab = 1(mod p)，求b

p%a = p-(p/a)*a;  在c++中/为整除。

(p/a)*a = p-(p%a);  换下位置

(p/a)*a = -(p%a);  在模p意义下p可以约掉，可以没有这一步

a = -(p%a)/(p/a);  再换一下位置

a^-1 = -(p%a)^-1*(p/a);

所以a^-1可以用(p%a)^-1推出，所以就可以用递推式来推出1到a的所有数的逆元。

code

int inv[];
void INV(int a,int p)
{
    inv[] = ;
    for (int i=; i<=a; ++i)
        inv[i] = (-(p/i))*inv[p%i]%p;
}

　　同时间思考下可以通过上述方法递归求解一个数的逆元

int INV(int a)
{
    if (a==) return ;
    return ((-(p/a)*INV(p%a))%p);
}

IMPORTANT：欧拉函数求解逆元

请参考：http://blog.csdn.net/yukizzz/article/details/51105009

欧拉函数：

令ϕ(m)表示小于等于m且与m互素的正整数的个数。 
如果x和m互质，则有xϕ(m)≡1(modm)，即x×xϕ(m)−1≡1(modm)，xϕ(m)−1即为x的逆元。 
在m为质数的情况下，ϕ(m)=m−1，即为费马小定理。

代码：

关键是求出欧拉函数的值。 
利用欧拉函数的积性性质：

对于任意整数n，可以将它分解n=pk11∗pk22∗pk33...pkmm，其中pi为质数。

其中ϕ(n)=ϕ(p1k1)∗ϕ(pk22)...ϕ(pkmm)

最后转化为ϕ(n)=n∗∏(pi−1)/pi

对给定n进行整数分解。时间复杂度O(n√)。

int eurler_phi(int n)
{
    int res = n;
    for(int i = ; i * i <= n; i++){
        if(n % i == ){
            res = res / i * (i - );
            while(n % i == ) n /= i;
        }
    }
    if(n != ) res = res / n * (n - );
    return res;
}

筛法求欧拉函数值的表，利用埃氏筛法，每次发现质因子就把他的倍数的欧拉函数乘上(p−1)∗p。 
如ACdreamers博客里介绍，利用定理进行优化 
【update】这个定理是有用的，但是个人觉得他对偶数预处理的写法并没有啥用

code

int euler[maxn];
void euler_phi2()
{
    for(int i = ; i < maxn; i++)  euler[i] = i;
    for(int i = ; i < maxn; ++i){
        if(euler[i] == i){
            for(int j = i; j < maxn; j += i){
                euler[j] = euler[j] / i * (i - );
            }
        }
    }
}

当n为奇数时，有ϕ(2n)=ϕ(n)

因为2n是偶数，偶数与偶数一定不互素，所以只考虑2n与小于它的奇数互素的情况，则恰好就等于n的欧拉函数值。