2018.10.20 bzoj1925: [Sdoi2010]地精部落（dp）

传送门

dp好题。

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设f[i][j]f[i][j]f[i][j]表示iii个数结尾是jjj且结尾两个数递增的方案数。

那么显然可以对称的定义出g[i][j]g[i][j]g[i][j]表示iii个数结尾是jjj且结尾两个数递减的方案数。

那么显然有f[i][j]=g[i][i−j+1]f[i][j]=g[i][i-j+1]f[i][j]=g[i][i−j+1]（考虑把第一个序列中每个数k都变成i-k+1）

且Ans=∑i=1n(f[n][i]+g[n][i])=2∗∑i=1nf[n][i]Ans=\sum _{i=1} ^n(f[n][i]+g[n][i])=2*\sum _{i=1} ^nf[n][i]Ans=∑i=1n​(f[n][i]+g[n][i])=2∗∑i=1n​f[n][i]

由于f[i][j]=∑k=1j−1g[i−1][k]f[i][j]=\sum _{k=1} ^{j-1} g[i-1][k]f[i][j]=∑k=1j−1​g[i−1][k]

=>f[i][j]=∑k=1j−1f[i−1][i−1−k+1]f[i][j]=\sum _{k=1} ^{j-1} f[i-1][i-1-k+1]f[i][j]=∑k=1j−1​f[i−1][i−1−k+1]

=>f[i][j]=∑k=1j−1f[i−1][i−k]f[i][j]=\sum _{k=1} ^{j-1} f[i-1][i-k]f[i][j]=∑k=1j−1​f[i−1][i−k]

=>f[i][j]=∑k=i−j+1i−1f[i−1][k]f[i][j]=\sum _{k=i-j+1} ^{i-1} f[i-1][k]f[i][j]=∑k=i−j+1i−1​f[i−1][k]

=>f[i][j−1]=∑k=i−j+2i−1f[i−1][k]f[i][j-1]=\sum _{k=i-j+2} ^{i-1} f[i-1][k]f[i][j−1]=∑k=i−j+2i−1​f[i−1][k]

=>f[i][j]−f[i][j−1]=f[i−1][i−j+1]f[i][j]-f[i][j-1]=f[i-1][i-j+1]f[i][j]−f[i][j−1]=f[i−1][i−j+1]

=>f[i][j]=f[i][j−1]+f[i−1][]i−j+1f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][]i-j+1f[i][j]=f[i][j−1]+f[i−1][]i−j+1

推导真妙啊。

注意要特判只有一个的情况。

以及要用滚动数组优化空间233

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 4205
using namespace std;
int f[2][N],p,n,ans=0,tmp=0;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&p);
	if(n==1)return cout<<1,0;
	f[tmp][1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		tmp^=1;
		for(int j=1;j<=i;++j)f[tmp][j]=(f[tmp][j-1]+f[tmp^1][i-j+1])%p;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		ans+=f[tmp][i];
		if(ans>=p)ans-=p;
	}
	ans<<=1;
	if(ans>=p)ans-=p;
	cout<<ans;
	return 0;
}