[luogu2469] 星际竞速

题面

​ 巨佬一眼就能看出这是最小路径覆盖, 我这个蒟蒻还是太弱了...

​ 我们可以知道跳跃值为点权w[i], 两点之间距离为边权ww

​ 对于每个点, 在最小路径覆盖问题中, 假设每个点都是一条路径, 即每个点都由能力爆发得到, 那么最初的答案便是\(ans\) = \(\sum_{ i = 1}^{n}\), 对于每一条连接u和v的边, 可以看做不使用能力爆发而从u往v走, 那么我们就减少了点v的点权, 加上了这一条边的代价, 即从\(min(u, v)\)向\(max(u, v)\)连一条容量为1, 费用为\(ww - w[v]\), 那么只要每次增广找到一条费用为负的边就可以减少总时间, 即当\(d[T]\)小于0时就可以将\(ans += d[T]\), 所以, 只要当此次增广无法到达T或者\(d[T]\) > 0时就可以return 0了.

具体代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>
#define N 5005
using namespace std;

int n, m, S, T, head[N], cnt = 1, p[N], vis[N], w[N];
struct node
{
	int from, to, next;
	long long flow, cost;
} edge[100005];
long long a[N], d[N], ans; 

inline int read()
{
	int x = 0, w = 1;
	char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') { if (c == '-') w = -1; c = getchar(); }
	while(c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
	return x * w;
}

inline void add(int u, int v, int w, int cost)
{
	edge[++cnt] = { u, v, head[u], w, cost }; head[u] = cnt;
	edge[++cnt] = { v, u, head[v], 0, -cost }; head[v] = cnt;
}

bool SPFA()
{
	memset(d, 0x3f, sizeof(d)); memset(a, 0x3f, sizeof(a));
	queue<int> q; q.push(S); d[S] = 0;
	while(!q.empty())
	{
		int u = q.front(); q.pop(); vis[u] = 0;
		for(int i = head[u]; i; i = edge[i].next)
		{
			int v = edge[i].to;
			if(d[v] > d[u] + edge[i].cost && edge[i].flow > 0)
			{
				d[v] = d[u] + edge[i].cost; a[v] = min(a[u], edge[i].flow);
				p[v] = i; if(!vis[v]) { vis[v] = 1; q.push(v); }
			}
		}
	}
	if(d[T] == d[0] || d[T] > 0) return 0;
	if(d[T] < 0) ans += (d[T] * a[T]);
	for(int i = T; i != S; i = edge[p[i]].from)
	{
		edge[p[i]].flow -= a[T]; edge[p[i] ^ 1].flow += a[T];
	}
	return 1;
}

int main()
{
	n = read(); m = read(); S = 2 * n + 1; T = S + 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++) { w[i] = read(); ans += w[i]; add(S, i, 1, 0); }
	for(int i = 1; i <= n; i++) add(i + n, T, 1, 0);
	for(int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int u = read(), v = read(), ww = read();
		if(u > v) swap(u, v);
		add(u, v + n, 1, ww - w[v]);
	}
	while(SPFA());
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}