【BZOJ3672】【NOI2014】购票（线段树，斜率优化，动态规划）

【BZOJ3672】【NOI2014】购票（线段树，斜率优化，动态规划）

题解

首先考虑\(dp\)的方程，设\(f[i]\)表示\(i\)的最优值

很明显的转移\(f[i]=min(f[j]+(dep[i]-dep[j])·p[i])+q[i]\)

其中满足\(dep[i]-dep[j]\le L[i]\)

然后就可以写出一个\(O(n^2)\)的做法啦

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 222222
inline ll read()
{
    RG ll x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
struct Line{int v,next,w;}e[MAX];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v,int w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}
int n,type,fa[MAX];
ll S[MAX],P[MAX],Q[MAX],L[MAX];
ll dep[MAX],f[MAX];
void dfs(int u)
{
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
		dep[e[i].v]=dep[u]+e[i].w,dfs(e[i].v);
}
double Slope(int a,int b){return (f[a]-f[b])*1.0/(dep[a]-dep[b]);}
namespace Brute
{
	void DFS(int u)
	{
		if(u!=1)f[u]=1e18;
		for(int i=fa[u];i&&dep[u]-dep[i]<=L[u];i=fa[i])
			f[u]=min(f[u],f[i]+(dep[u]-dep[i])*P[u]+Q[u]);
		for(int i=h[u];i;i=e[i].next)DFS(e[i].v);
	}
	void Solve()
	{
		DFS(1);
		for(int i=2;i<=n;++i)printf("%lld\n",f[i]);
	}
}
int main()
{
	n=read();type=read();
	for(int i=2;i<=n;++i)fa[i]=read(),S[i]=read(),P[i]=read(),Q[i]=read(),L[i]=read();
	for(int i=2;i<=n;++i)Add(fa[i],i,S[i]);
	dfs(1);
	if(n<=2000){Brute::Solve();return 0;}
}

如果没有下面的那条限制，我们可以很容易的写出一个效率优化

设\(k<j<i\)，\(j\)的转移优于\(k\)，那么有

\(f[j]-dep[j]*p[i]<f[k]-dep[k]*p[i]\)

移项得到\(p[i]>\frac{f[j]-f[k]}{dep[j]-dep[k]}\)

很明显的斜率优化。

就这样我们就写出了一个\(t=0\)的\(20\)代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 222222
inline ll read()
{
    RG ll x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
struct Line{int v,next,w;}e[MAX];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v,int w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}
int n,type,fa[MAX];
ll S[MAX],P[MAX],Q[MAX],L[MAX];
ll dep[MAX],f[MAX];
void dfs(int u)
{
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
		dep[e[i].v]=dep[u]+e[i].w,dfs(e[i].v);
}
double Slope(int a,int b){return (f[a]-f[b])*1.0/(dep[a]-dep[b]);}
namespace Task0
{
	int St[MAX],top;
	int check(double K)
	{
		int l=2,r=top,ret=1;
		while(l<=r)
		{
			int mid=(l+r)>>1;
			if(Slope(St[mid],St[mid-1])>=K)r=mid-1;
			else l=mid+1,ret=mid;
		}
		return St[ret];
	}
	void Solve()
	{
		St[top=1]=1;
		for(int i=2;i<=n;++i)
		{
			int j=check(P[i]);
			f[i]=f[j]+Q[i]+(dep[i]-dep[j])*P[i];
			while(top>1&&Slope(i,St[top-1])<Slope(St[top],St[top-1]))--top;
			St[++top]=i;
			printf("%lld\n",f[i]);
		}
	}
}
int main()
{
	n=read();type=read();
	for(int i=2;i<=n;++i)fa[i]=read(),S[i]=read(),P[i]=read(),Q[i]=read(),L[i]=read();
	for(int i=2;i<=n;++i)Add(fa[i],i,S[i]);
	dfs(1);
	if(type==0){Task0::Solve();return 0;}
}

当然，再把暴力给加上就有\(40\)分了。

（自己去拼接啊，要不然代码太多了）

剩下的部分分。

对于\(t=1\)，我们发现是没有距离限制的

显然是对于每一条链维护一个凸包，所以只需要维护一个可持久化栈然后在上面二分就好了。

这个东西似乎可以用主席树维护，然后在主席树上面二分就行了。

（我就懒得写了）

对于\(t=2\)，是一条链，但是有距离限制，

我们发现我们会从前面开始删去凸包上的一些点，这似乎非常不好做，

但是我们似乎可以用\(CDQ\)分治来做？按照能够用来更新的区间排序

每次\(CDQ\)的时候维护一段区间的凸包，然后更新一下答案就好了

（似乎可以这样做吧。。。）

---

现在终于可以来讲正解之一啦

现在的问题主要是如何动态维护凸包

其实我们把树直接树链剖分之后，对应的满足条件的是\(dfs\)序上的多段区间

所以我们用线段树暴力维护凸包，每个节点开一个\(vector\)

然后暴力维护这段区间的凸包

每个点最多会被\(log\)个线段树节点所包含，复杂度\(O(nlogn)\)

然后每次询问的时候在跳重链+线段树+二分

似乎是三个\(log\)，但是我觉得只有两个\(log\)

似乎二分的\(log\)是加起来才有一个\(log\)吧。。。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 222222
#define lson (now<<1)
#define rson (now<<1|1)
inline ll read()
{
    RG ll x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
struct Line{int v,next;ll w;}e[MAX];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v,ll w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}
int n,type,fa[MAX];
ll S[MAX],P[MAX],Q[MAX],L[MAX];
ll dis[MAX],f[MAX];
int size[MAX],top[MAX],dfn[MAX],low[MAX],ln[MAX],tim,hson[MAX];
double Slope(int a,int b){return (f[a]-f[b])*1.0/(dis[a]-dis[b]);}
void dfs(int u)
{
	size[u]=1;
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;dis[v]=dis[u]+e[i].w;
		dfs(v);size[u]+=size[v];
		if(size[v]>size[hson[u]])hson[u]=v;
	}
}
void dfs(int u,int tp)
{
	top[u]=tp;dfn[u]=++tim;ln[tim]=u;
	if(hson[u])dfs(hson[u],tp);
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
		if(e[i].v!=hson[u])dfs(e[i].v,e[i].v);
}
vector<int> t[MAX<<2];
void Modify(int now,int l,int r,int p)
{
	int tp=t[now].size();
	while(tp>1&&Slope(ln[p],t[now][tp-2])<Slope(t[now][tp-1],t[now][tp-2]))
		--tp,t[now].pop_back();
	t[now].push_back(ln[p]);
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(p<=mid)Modify(lson,l,mid,p);
	else Modify(rson,mid+1,r,p);
}
ll Calc(vector<int> t,int u)
{
	int l=1,r=t.size()-1,ret=0;
	while(l<=r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		if(Slope(t[mid],t[mid-1])<1.0*P[u])l=mid+1,ret=mid;
		else r=mid-1;
	}
	int v=t[ret];
	return f[v]+(dis[u]-dis[v])*P[u]+Q[u];
}
ll Query(int now,int l,int r,int L,int R,int u)
{
	if(L<=l&&r<=R)return Calc(t[now],u);
	int mid=(l+r)>>1;ll ret=1e18;
	if(L<=mid)ret=min(ret,Query(lson,l,mid,L,R,u));
	if(R>mid)ret=min(ret,Query(rson,mid+1,r,L,R,u));
	return ret;
}
int Top=0;
void Jump(int u,int anc)
{
	f[u]=5e18;int U=u;u=fa[u];
	while(top[u]^top[anc])
	{
		f[U]=min(f[U],Query(1,1,n,dfn[top[u]],dfn[u],U));
		u=fa[top[u]];
	}
	f[U]=min(f[U],Query(1,1,n,dfn[anc],dfn[u],U));
}
void DFS(int u)
{
	S[++Top]=u;
	if(u!=1)
	{
		int l=1,r=Top-1,v=u;
		while(l<=r)
		{
			int mid=(l+r)>>1;
			if(dis[u]-dis[S[mid]]<=L[u])v=S[mid],r=mid-1;
			else l=mid+1;
		}
		Jump(u,v);
	}
	Modify(1,1,n,dfn[u]);
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)DFS(e[i].v);
	--Top;
}
int main()
{
	n=read();type=read();
	for(int i=2;i<=n;++i)fa[i]=read(),S[i]=read(),P[i]=read(),Q[i]=read(),L[i]=read();
	for(int i=2;i<=n;++i)Add(fa[i],i,S[i]);
	dfs(1);dfs(1,1);memset(S,0,sizeof(S));DFS(1);
	for(int i=2;i<=n;++i)printf("%lld\n",f[i]);
	return 0;
}