【概率论】5-4:泊松分布(The Poisson Distribution)

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title: 【概率论】5-4:泊松分布(The Poisson Distribution)

categories:

- Mathematic

- Probability

keywords:

- Poisson Distribution

- Poisson Processes

toc: true

date: 2018-03-28 15:40:55

Abstract: 本文介绍Poisson分布相关知识

Keywords: Poisson Distribution

开篇废话

前面这几个分布包括今天说的泊松分布都是和二项分布，伯努利分布相互联系的，之间有各种各样的关系，我们的学习目的不是背诵所有这些分布的性质，而是在这些性质的推到过程。

很多实验比较关注次数，比如一段时间内到达商店的顾客的人数，电话交换机每分钟受到的通话请求，洪水或者其他自然人为灾害发生的次数。泊松分布被用来建模，一段事件这些事情发生的次数，并且泊松分布也是用来近似当 ppp 很小的时候的二项分布的一种方法。

Definition and Properties of the Poisson Distributions

先来看一个商店一段时间有多少顾客到来的例子，这个例子会贯穿正片博客，大家应该好好读一下。

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商店老板相信，顾客们以每个小时4.5 人次的数量来到商店，他想找到一个X的分布，这个X表示在未来某个一个小时，到店的客人数，并且他认为这些到来的客人之间相互独立，于是他的做法是按照一个小时3600秒计算，平均每秒来 0.00125 个人，并且假设一秒钟不会同时出现两个人同时到店的可能，那么某时间点，到达的人数为0或者1，为1的可能性是0.00125，整个过程是一个二项分布，n=3600，p=0.00125。

这看起来很正确也很流畅

于是他要计算p.f.了：

f(x∣n=3600,p=0.00125)={(3600x)px(1−p)3600−xfor 0≤x≤36000otherwise
f(x|n=3600,p=0.00125)=
\begin{cases}
\begin{pmatrix}
3600\\x
\end{pmatrix}p^x(1-p)^{3600-x}&\text{for }0\leq x\leq 3600\\
0&\text{otherwise}
\end{cases}
f(x∣n=3600,p=0.00125)=⎩⎨⎧​(3600x​)px(1−p)3600−x0​for 0≤x≤3600otherwise​

这个式子非常有意思，当参数 (3600x)\begin{pmatrix} 360 0\\x \end{pmatrix}(3600x​) 变大的时候， 参数 px(1−p)3600−xp^x(1-p)^{3600-x}px(1−p)3600−x 似乎以同等的速度变小，而整体却变化不大，于是我们对相邻的两个随机变量值做个比较（以下把 XXX 扩展到在0到 nnn 之间变化）

f(x+1)f(x)=(nx+1)px+1(1−p)n−x−1(nx)px+1(1−p)n−x−1=(n−x)p(x+1)(1−p)≈npx+1
\begin{aligned}
\frac{f(x+1)}{f(x)}&=
\frac
{\begin{pmatrix}n\\x+1\end{pmatrix}p^{x+1}(1-p)^{n-x-1}}
{\begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}p^{x+1}(1-p)^{n-x-1}}\\
&=\frac{(n-x)p}{(x+1)(1-p)}\\
&\approx\frac{np}{x+1}
\end{aligned}
f(x)f(x+1)​​=(nx​)px+1(1−p)n−x−1(nx+1​)px+1(1−p)n−x−1​=(x+1)(1−p)(n−x)p​≈x+1np​​

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