poj 2888 Magic Bracelet <polya定理>

题目：http://poj.org/problem?id=2888

题意：给定n（n <= 10^9）颗珠子，组成一串项链，每颗珠子可以用m种颜色中一种来涂色，如果两种涂色方法通过旋转项链可以得到视为等价。

　　　然后再给定K组限制，每组限制a、b代表颜色a和颜色b不能涂在相邻的珠子上面。问一共有多少种涂色方法。

思路： 如果这题没有后面的限制，就和 poj 2154 一样了：http://www.cnblogs.com/jian1573/p/3234627.html

　　现在我们要处理的就是 K 种限制， 可以用DP求解。 i为珠子编号， c为颜色编号那么：dp[i][c]=∑dp[i-1][cc]  cc 为可以与 c 相邻的颜色编号；

　　由于N为 1e9 O(N) 会TLE， 所以我们可以用矩阵快速幂来优化为O(lgN)：具体用m[i][j]=1,表示合法， m[i][j]=0表示不合法，

　　那么m^k后的对角线上的元素和即为所求。

 #include <iostream>
 #include <cmath>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 using namespace std;
 const int Mod=;
 int N, M, K, T;
 struct Mar
 {
     int m[][];
     inline void zero( ){
         memset(m, , sizeof m);
     }
     inline void one( ){
         zero( );
         for( int i=; i<M; ++i ){
             for( int j=; j<M; ++j ){
                 m[i][j]=;
             }
         }
     }
     inline void unit( ){
         zero();
         for( int i=; i<M; ++ i )
             m[i][i]=;
     }
     inline Mar operator *(const Mar &a) const {
         Mar C;C.zero();
         for( int i=; i<M; ++i ){
             for(int j=; j<M; ++j ){
                 for( int k=; k<M; ++k ){
                     C.m[i][j]+=m[i][k]*a.m[k][j];
                     C.m[i][j]%=Mod;
                 }
             }
         }
         return C;
     }
     inline Mar operator ^ (int t) const{
         Mar B=*this, C;
         C.unit( );
         while(t){
             if(t&)C=C*B;
             B=B*B;
             t>>=;
         }
         return C;
     }
 }A;
 int a[], p[],cntp=;
 void getp( )
 {
     for( int i=; i<=1e5; ++ i ){
         if( !a[i] )p[cntp++]=i;
         for( int j=; j<cntp&&i*p[j]<1e5; ++ j ){
             a[i*p[j]]=;
             if( i%p[j]== )break;
         }
     }
 }

 int Phi( int x )
 {
     int res=x;
     for( int i=; i<cntp&&p[i]*p[i]<=x; ++i ){
         if( x%p[i]== ){
             res/=p[i]; res*=(p[i]-);
             while(x%p[i]==){
                 x/=p[i];
             }
         }
     }
     if(x>){
         res/=x;res*=(x-);
     }
     return res%Mod;
 }
 int P_M(int a, int b)
 {
     int res=;
     while(b){
         if(b&)res*=a, res%=Mod;
         a*=a, a%=Mod;
         b>>=;
     }
     return res;

 }
 int work( int k )
 {
     Mar C=A^k;
     int res=;
     for( int i=; i<M; ++i )
         res+=C.m[i][i];
     return res;
 }
 int polya(  )
 {
     int ans=;
     for( int i=; i*i<=N; ++ i ){
         if( N%i== ){
             if(i*i==N){
                 ans+=Phi(i)*work(i);
                 ans%=Mod;
             }
             else{
                 ans+=Phi(i)*work(N/i);
                 ans%=Mod;
                 ans+=Phi(N/i)*work(i);
                 ans%=Mod;
             }
         }
     }
     return ans;
 }
 int main( )
 {
     getp();
     scanf("%d", &T);
     while (T--){
         scanf("%d%d%d", &N, &M, &K);
         A.one();
         for( int i=, x, y; i<K; ++i ){
             scanf("%d%d", &x, &y);
             A.m[x-][y-]=A.m[y-][x-]=;
         }
         int ans=polya();
         int inv=P_M(N%Mod, Mod-);
         ans*=inv;ans%=Mod;
         printf("%d\n", ans);
     }
     return ;
 }