POJ Corn Fields 状态压缩DP基础题

题目链接：http://poj.org/problem?id=3254

题目大意（名称什么的可能不一样，不过表达的意思还是一样的）：

种玉米

王小二从小学一年级到现在每次考试都是班级倒数第一名，他的爸爸王大强觉得读书对于王小二来说应该是没有出路了，于是决定让王小二继承自己的衣钵，从事一份非常有前途的工作——种玉米。王大强是一位富有的农场主，他拥有一块 M*N 平方米的矩形田地专门用来种玉米（1<=M,N<=12）。这个玉米地被分成了 M*N 个，每个格子是一个大小为1平方米的格子。这块玉米地中有一些格子因为还没有开垦，所以上面长满了岩石，所以这些格子是不适合种玉米的。相邻的格子也是不能同时种玉米的，因为如果这么做了的话，两个格子区域的玉米因为相互抢夺土壤里面的资源结果会都长不好。

虽然王小二的成绩不好，但是他是一个喜欢思考的人，他想要知道一共有多少种可行的方式来种玉米。

输入

第一行包括两个正数M和N。

接下来M行每行包含N个整数，数字1表示这个格子是适合种玉米的，数字0表示这个格子不适合种玉米。

输出

输出一个整数，表示种玉米的方案数。（除 100,000,000 取模）

样例输入

2 3
1 1 1
0 1 0

样例输出

9

题目分析：这道题目可以用状态压缩DP来处理。

dp[i][j] 表示第i行的状态取为j的时候的方案总数，那么这个j的状态是什么意思呢？

j虽然是一个整数，但是它其实表示的是一行的所有二进制状态。

比如，如果我们某一行的三个格子分别是：种、不种、种，我们用 1 表示“种”，用 0 表示“不种”， 那么这一行其实可以表示成 1,0,1 对应的二进制数就是 101 ，这个数对应的十进制的数就是 1*4+0*2+1*1 = 5，

我们还要过滤一下每一行的状态，第i行的状态j成立的条件是：

• j对应的状态上没有在有岩石的格子上种玉米；
• j对应的状态不会有连续的两列上种玉米。

这两点我在代码上面有比较明确的体现。

然后我们就可以得到状态转移方程：

dp[i][j] = 1, 其中i==0（第0行），j是第i行的合理状态（满足上面提到的两个条件）
dp[i][j] = sum(dp[i-1][k])，其中i>0，j是第i行的合理状态，k是第i-1行的所有合理状态的集合，并且j和k状态满足关系式：j&k==0，对应的字面意思就是不存在连续的两行同一列都种着玉米

最后的结果就是 sum(dp[M-1][j])，其中j对应第M-1的所有合理状态。

代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 13;
const int MOD = 100000000;

int M, N, dp[maxn][1<<maxn], g[maxn][maxn];
vector<int> states[maxn];

void test() {
    for (int i = 0; i < M; i ++) {
        cout << (i+1) << "(" << states[i].size() << "): ";
        int sz = states[i].size();
        for (int j = 0; j < sz; j ++) {
            if (j) cout << ",";
            cout << states[i][j];
        }
        cout << endl;
    }
    cout << "check:" << endl;
    for (int i = 0; i < states[M-1].size(); i ++) {
        if (dp[M-1][i]) {
            cout << "\t" << i << " : " << dp[M-1][i] << endl;
        }
    }
}

int main() {
    while (cin >> M >> N) {
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 0; i < M; i ++) {
            for (int j = 0; j < N; j ++) {
                cin >> g[i][j];
            }
        }
        for (int i = 0; i < M; i ++) {
            states[i].clear();
            for (int j = 0; j < (1<<N); j ++) {
                bool flag = true;
                // 判断是否在岩石上种了玉米
                for (int k = 0; k < N; k ++) {
                    if (g[i][k] == 0 && j&(1<<k)) {
                        flag = false;
                        break;
                    }
                }
                // 判断是否相邻的格子都种了玉米
                if (flag) {
                    for (int k = 0; k < N-1; k ++) {
                        if (j&(1<<k) && j&(1<<(k+1))) {
                            flag = false;
                            break;
                        }
                    }
                }
                if (flag) {
                    states[i].push_back(j);
                }
            }
        }
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < M; i ++) {
            int sz = states[i].size();
            for (int j = 0; j < sz; j ++) {
                int p = states[i][j];
                if (i == 0) dp[i][p] = 1;
                else {
                    int sz2 = states[i-1].size();
                    for (int k = 0; k < sz2; k ++) {
                        int q = states[i-1][k];
                        if (!(p&q)) {
                            dp[i][p] += dp[i-1][q];
                            dp[i][p] %= MOD;
                        }
                    }
                }
                if (i == M-1) {
                    sum += dp[i][p];
                    sum %= MOD;
                }
            }
        }
        cout << sum << endl;
        // test();
    }
    return 0;
}