PageRank算法原理与Python实现

一、什么是pagerank

PageRank的Page可是认为是网页，表示网页排名，也可以认为是Larry Page(google 产品经理)，因为他是这个算法的发明者之一，还是google CEO（^_^）。PageRank算法计算每一个网页的PageRank值，然后根据这个值的大小对网页的重要性进行排序。它的思想是模拟一个悠闲的上网者，上网者首先随机选择一个网页打开，然后在这个网页上呆了几分钟后，跳转到该网页所指向的链接，这样无所事事、漫无目的地在网页上跳来跳去，PageRank就是估计这个悠闲的上网者分布在各个网页上的概率。

PageRank的核心思想非常简单：

如果一个网页被很多其他网页链接到的话说明这个网页比较重要，也就是PageRank值会相对较高

如果一个PageRank值很高的网页链接到一个其他的网页，那么被链接到的网页的PageRank值会相应地因此而提高

二、最简单pagerank模型

互联网中的网页可以看出是一个有向图，其中网页是结点，如果网页A有链接到网页B，则存在一条有向边A->B，下面是一个简单的示例：

这个例子中只有四个网页，如果当前在A网页，那么悠闲的上网者将会各以1/3的概率跳转到B、C、D，这里的3表示A有3条出链，如果一个网页有k条出链，那么跳转任意一个出链上的概率是1/k，同理D到B、C的概率各为1/2，而B到C的概率为0。一般用转移矩阵表示上网者的跳转概率，如果用n表示网页的数目，则转移矩阵M是一个n*n的方阵；如果网页j有k个出链，那么对每一个出链指向的网页i，有M[i][j]=1/k，而其他网页的M[i][j]=0；上面示例图对应的转移矩阵如下：

初试时，假设上网者在每一个网页的概率都是相等的，即1/n，于是初试的概率分布就是一个所有值都为1/n的n维列向量V0，用V0去右乘转移矩阵M，就得到了第一步之后上网者的概率分布向量MV0,（nXn）*(nX1)依然得到一个nX1的矩阵。下面是V1的计算过程：

注意矩阵M中M[i][j]不为0表示用一个链接从j指向i，M的第一行乘以V0，表示累加所有网页到网页A的概率即得到9/24。得到了V1后，再用V1去右乘M得到V2，一直下去，最终V会收敛，即Vn=MV(n-1)，上面的图示例，不断的迭代，最终V=[3/9,2/9,2/9,2/9]‘：

三、终止点问题

上述上网者的行为是一个马尔科夫过程的实例，要满足收敛性，需要具备一个条件：

• 图是强连通的，即从任意网页可以到达其他任意网页：

互联网上的网页不满足强连通的特性，因为有一些网页不指向任何网页，如果按照上面的计算，上网者到达这样的网页后便走投无路、四顾茫然，导致前面累计得到的转移概率被清零，这样下去，最终的得到的概率分布向量所有元素几乎都为0。假设我们把上面图中C到A的链接丢掉，C变成了一个终止点，得到下面这个图：

对应的转移矩阵为：

连续迭代下去，最终所有元素都为0：

四、陷阱问题

另外一个问题就是陷阱问题，即有些网页不存在指向其他网页的链接，但存在指向自己的链接。比如下面这个图：

上网者跑到C网页后，就像跳进了陷阱，陷入了漩涡，再也不能从C中出来，将最终导致概率分布值全部转移到C上来，这使得其他网页的概率分布值为0，从而整个网页排名就失去了意义。如果按照上面图对应的转移矩阵为：

不断的迭代下去，就变成了这样：

五、解决终止点问题和陷阱问题

上面过程，我们忽略了一个问题，那就是上网者是一个悠闲的上网者，而不是一个愚蠢的上网者，我们的上网者是聪明而悠闲，他悠闲，漫无目的，总是随机的选择网页，他聪明，在走到一个终结网页或者一个陷阱网页（比如两个示例中的C），不会傻傻的干着急，他会在浏览器的地址随机输入一个地址，当然这个地址可能又是原来的网页，但这里给了他一个逃离的机会，让他离开这万丈深渊。模拟聪明而又悠闲的上网者，对算法进行改进，每一步，上网者可能都不想看当前网页了，不看当前网页也就不会点击上面的连接，而上悄悄地在地址栏输入另外一个地址，而在地址栏输入而跳转到各个网页的概率是1/n。假设上网者每一步查看当前网页的概率为a，那么他从浏览器地址栏跳转的概率为(1-a)，于是原来的迭代公式转化为：

现在我们来计算带陷阱的网页图的概率分布：

重复迭代下去，得到：

六、用Python实现Page Rank算法

Python 实现的PageRank算法，纯粹使用python原生模块，没有使用numpy、scipy。这个程序实现还比较原始，可优化的地方较多。

# -*- coding:utf-8 -*-
import random

N = 4  # 四个网页
d = 0.85  # 阻尼因子为0.85
delt = 0.00001  # 迭代控制变量

# 两个矩阵相乘
def matrix_multi(A, B):
    result = [[0] * len(B[0]) for i in range(len(A))]
    for i in range(len(A)):
        for j in range(len(B[0])):
            for k in range(len(B)):
                result[i][j] += A[i][k] * B[k][j]
    return result

# 矩阵A的每个元素都乘以n
def matrix_multiN(n, A):
    result = [[1] * len(A[0]) for i in range(len(A))]
    for i in range(len(A)):
        for j in range(len(A[0])):
            result[i][j] = n * A[i][j]
    return result

# 两个矩阵相加
def matrix_add(A, B):
    if len(A[0]) != len(B[0]) and len(A) != len(B):
        return
    result = [[0] * len(A[0]) for i in range(len(A))]
    for i in range(len(A)):
        for j in range(len(A[0])):
            result[i][j] = A[i][j] + B[i][j]
    return result

def pageRank(A):
    e = []
    for i in range(N):
        e.append(1)
    norm = 100
    New_P = []
    for i in range(N):
        New_P.append([random.random()])
    r = [[(1 - d) * i * 1 / N] for i in e]
    while norm > delt:
        P = New_P
        New_P = matrix_add(r, matrix_multiN(d, matrix_multi(A, P)))  # P=(1-d)*e/n+d*M'P PageRank算法的核心
        norm = 0
        # 求解矩阵一阶范数
        for i in range(N):
            norm += abs(New_P[i][0] - P[i][0])
    print New_P

# 根据邻接矩阵求转移概率矩阵并转向
def tran_and_convert(A):
    result = [[0] * len(A[0]) for i in range(len(A))]
    result_convert = [[0] * len(A[0]) for i in range(len(A))]
    for i in range(len(A)):
        for j in range(len(A[0])):
            result[i][j] = A[i][j] * 1.0 / sum(A[i])
    for i in range(len(result)):
        for j in range(len(result[0])):
            result_convert[i][j] = result[j][i]
    return result_convert

def main():
    A = [[0, 1, 1, 0], \
         [1, 0, 0, 1], \
         [1, 0, 0, 1], \
         [1, 1, 0, 0]]
    M = tran_and_convert(A)
    pageRank(M)

if __name__ == '__main__':
    main()

 还有另外一个算法是用了numpy数组的

# -*- coding: utf-8 -*-
from numpy import *

a = array([[0, 1, 1, 0],
           [1, 0, 0, 1],
           [1, 0, 0, 1],
           [1, 1, 0, 0]], dtype=float)  # dtype指定为float

def graphMove(a):  # 构造转移矩阵
    b = transpose(a)  # b为a的转置矩阵
    c = zeros((a.shape), dtype=float)
    for i in range(a.shape[0]):
        for j in range(a.shape[1]):
            c[i][j] = a[i][j] / (b[j].sum())  # 完成初始化分配
    # print c,"\n===================================================="
    return c

def firstPr(c):  # pr值得初始化
    pr = zeros((c.shape[0], 1), dtype=float)  # 构造一个存放pr值得矩阵
    for i in range(c.shape[0]):
        pr[i] = float(1) / c.shape[0]
        # print pr,"\n==================================================="
    return pr

def pageRank(p, m, v):  # 计算pageRank值
    while ((v == p * dot(m, v) + (
        1 - p) * v).all() == False):  # 判断pr矩阵是否收敛,(v == p*dot(m,v) + (1-p)*v).all()判断前后的pr矩阵是否相等，若相等则停止循环
        # print v
        v = p * dot(m, v) + (1 - p) * v
        # print (v == p*dot(m,v) + (1-p)*v).all()
    return v

if __name__ == "__main__":
    M = graphMove(a)
    pr = firstPr(M)
    p = 0.85  # 引入浏览当前网页的概率为p,假设p=0.8
    print pageRank(p, M, pr)  # 计算pr值

幂迭代法的代码

import numpy as np

class CPageRank(object):
    '''实现PageRank Alogrithm
    '''
    def __init__(self):
        self.PR = [] #PageRank值

    def GetPR(self, IOS, alpha, max_itrs, min_delta):
        '''幂迭代方法求PR值
        :param IOS       表示网页出链入链关系的矩阵,是一个左出链矩阵
        :param alpha     阻尼系数α，一般alpha取值0.85
        :param max_itrs  最大迭代次数
        :param min_delta 停止迭代的阈值
        '''
        #IOS左出链矩阵, a阻尼系数alpha, N网页总数
        N = np.shape(IOS)[0]
        #所有分量都为1的列向量
        e = np.ones(shape=(N, 1))
        #计算网页出链个数统计
        L = [np.count_nonzero(e) for e in IOS.T]
        #计算网页PR贡献矩阵helpS，是一个左贡献矩阵
        helps_efunc = lambda ios,l:ios/l
        helps_func  = np.frompyfunc(helps_efunc, 2, 1)
        helpS = helps_func(IOS, L)
        #P[n+1] = AP[n]中的矩阵A
        A = alpha*helpS + ((1-alpha)/N)*np.dot(e, e.T)
        print('左出链矩阵:\n', IOS)
        print('左PR值贡献概率矩阵:\n', helpS)
        #幂迭代法求PR值
        for i in range(max_itrs):
            if 0 == np.shape(self.PR)[0]: #使用1.0/N初始化PR值表
                self.PR = np.full(shape=(N,1), fill_value=1.0/N)
                print('初始化的PR值表:', self.PR)
            #使用PR[n+1] = APR[n]递推公式，求PR[n+1]
            old_PR = self.PR
            self.PR = np.dot(A, self.PR)
            #如果所有网页PR值的前后误差 都小于 自定义的误差阈值，则停止迭代
            D = np.array([old-new for old,new in zip(old_PR, self.PR)])
            ret = [e < min_delta for  e in D]
            if ret.count(True) == N:
                print('迭代次数:%d, succeed PR:\n'%(i+1), self.PR)
                break
        return self.PR

def CPageRank_manual():
    #表示网页之间的出入链的关系矩阵，是一个左关系矩阵，可以理解成右入链矩阵
    #IOS[i, j]表示网页j对网页i有出链
    IOS = np.array([[0, 0, 0, 0, 1],
                    [1, 0, 0, 0, 0],
                    [1, 0, 0, 0, 0],
                    [1, 1, 0, 0, 0],
                    [0, 1, 1, 1, 0]], dtype=float)
    pg = CPageRank()
    ret = pg.GetPR(IOS, alpha=0.85, max_itrs=100, min_delta=0.0001)
    print('最终的PR值:\n', ret)
if __name__=='__main__':
    CPageRank_manual()

运行结果

左出链矩阵:
 [[ 0.  0.  0.  0.  1.]
 [ 1.  0.  0.  0.  0.]
 [ 1.  0.  0.  0.  0.]
 [ 1.  1.  0.  0.  0.]
 [ 0.  1.  1.  1.  0.]]
左PR值贡献概率矩阵:
 [[0.0 0.0 0.0 0.0 1.0]
 [0.3333333333333333 0.0 0.0 0.0 0.0]
 [0.3333333333333333 0.0 0.0 0.0 0.0]
 [0.3333333333333333 0.5 0.0 0.0 0.0]
 [0.0 0.5 1.0 1.0 0.0]]
初始化的PR值表: [[ 0.2]
 [ 0.2]
 [ 0.2]
 [ 0.2]
 [ 0.2]]
迭代次数:29, succeed PR:
 [[0.2962595101978549]
 [0.11393416086464467]
 [0.11393416086464467]
 [0.16239748970660772]
 [0.31347467836624976]]
最终的PR值:
 [[0.2962595101978549]
 [0.11393416086464467]
 [0.11393416086464467]
 [0.16239748970660772]
 [0.31347467836624976]]