洛谷P4774 BZOJ5418 LOJ2721 [NOI2018]屠龙勇士（扩展中国剩余定理）

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题目大意：这么长的题面，就饶了我吧emmm

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这题第一眼看上去没法列出同余方程组。为什么？好像不知道用哪把剑杀哪条龙……

仔细一看，要按顺序杀龙，所以获得的剑出现的顺序也是固定的。

那么如果能把所有龙杀死，就能模拟出哪把剑杀那条龙了。

（以下设所有除 $n,m$ 外的数的最大值为 $v$）

$O(nm)$？

不，发现这里用剑的限制实际上是给出一个上界，来用lower_bound的。

插入也不要太暴力。我们想到什么？手写平衡树multiset！

这一部分复杂度是 $O(n\log m)$。

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接下来就成了一个同余方程组：$atk_ix\equiv hp_i(\operatorname{mod}\ rec_i)$。

（$atk_i$ 表示攻击第 $i$ 条龙的攻击力，$hp_i$ 表示第 $i$ 条龙的血量，$rec_i$ 表示第 $i$ 条龙的恢复能力）

但是好像没那么简单！有一些神奇的情况……要特判！

在考场上的话我肯定想不到特判任何东西

首先大家应该都知道，$x\equiv a_i(\operatorname{mod}\ b_i)$ 等价于 $x\equiv a_i\ \operatorname{mod}\ b_i(\operatorname{mod}\ b_i)$。

但是在这题中不行！你总不能把一头龙的血量凭空减少吧！

所以 $hp_i>rec_i$ 时（题目描述中的特性1不满足时）怎么办？

我们发现不满足特性1的点都满足 $rec_i=1$……也就是只要把他的血量打到小于0就赢了！

此时答案是 $\max\limits_{1\le i\le n}(\lceil\frac{hp_i}{atk_i}\rceil)$。

另外要注意 $x\ge\max(\lceil\dfrac{hp_i}{atk_i}\rceil)$。

至此所有特判结束。

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我们一般的EXCRT同余方程组的形式是 $x\equiv a_i(\operatorname{mod}\ b_i)$。

但是这里有讨厌的 $atk_i$！更讨厌的是可能没有逆元，不能直接除过去！

我们来看看如何变形：

$atk_ix\equiv hp_i(\operatorname{mod}\ rec_i)$

$atk_ix+rec_iy=hp_i$

此时可以EXGCD解出 $x$ 的最小正整数解 $x_0$。

根据某定理（什么定理来着？）可得通解为 $x=x_0+\frac{rec_i}{\gcd(atk_i,rec_i)}k(k\in N^+)$。

于是就变成了 $x\equiv x_0(\operatorname{mod}\ \frac{rec_i}{\gcd{atk_i},rec_i})$。

这一部分复杂度为 $O(n\log v)$。

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接下来就是裸的EXCRT了！

这一部分复杂度为 $O(n\log v)$。

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等一下，还有一句提示没看到：

你所用到的中间结果可能很大，注意保存中间结果的变量类型。

突然慌张

冷静分析一下，我们在各种算法中模数都有可能超过int范围，要是一乘……

那……只能上龟速乘了。时间复杂度是没变，但是常数的话……

幸好不是wys的题，不然时限就是1s了

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好吧，都说完了，上代码吧。（之前因为数据水没有注意 $x\ge\max(\lceil\dfrac{hp_i}{atk_i}\rceil)$）

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int maxn=;
 multiset<ll> mts;    //模拟拿剑
 int t,n,m;
 bool spec,exist,same;
 ll hp[maxn],rec[maxn],a[maxn],b[maxn];    //a，b表示最后方程组是x=a_i(mod\ b_i)
 int award[maxn],atk[maxn];    //award是奖励的剑
 ll qmul(ll a,ll b,ll mod){    //*速乘
     ll ans=;
     for(;b;b>>=,a=(a+a)%mod) if(b&) ans=(ans+a)%mod;
     return ans;
 }
 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){    //模板
     if(!b){x=;y=;return a;}
     ll d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;
 }
 ll gcd(ll a,ll b){    //（不要问我为什么有这个）
     if(!b) return a;
     return gcd(b,a%b);
 }
 int main(){
     scanf("%d",&t);
     while(t--){
         spec=false;same=exist=true;    //spec是rec=1，same是hp=rec，exist是有没有解
         mts.clear();
         scanf("%d%d",&n,&m);
         for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lld",hp+i);
         for(int i=;i<=n;i++){scanf("%lld",rec+i);if(rec[i]<hp[i]) spec=true;}    //rec<hp？
         for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",award+i);
         for(int i=;i<=m;i++){
             int x;
             scanf("%d",&x);
             mts.insert(x);    //全部进去
         }
         for(int i=;i<=n;i++){
             multiset<ll>::iterator it;
             if(hp[i]<*mts.begin()) it=mts.begin();    //如果没有比血量小的剑，则用第一把（最小的）
             else it=mts.upper_bound(hp[i]),it--;    //否则用第一个大于它的-1（即最后一个小于等于它的）
             atk[i]=*it;
             mts.erase(it);
             mts.insert(award[i]);    //拿走再选
         }
         if(spec){    //特判hp>rec
             ll ans=;
             for(int i=;i<=n;i++) ans=max(ans,ll(ceil(1.0*hp[i]/atk[i])));
             printf("%lld\n",ans);
             continue;
         }
         for(int i=;i<=n;i++){
             if(!atk[i]){puts("-1");exist=false;break;}    //无法攻击？无解
             if(hp[i]!=rec[i]) same=false;    //hp=rec?
             ll x,y,d=exgcd(atk[i],rec[i],x,y);    //解x0
             if(hp[i]%d){puts("-1");exist=false;break;}    //无解
             x=(x+rec[i])%rec[i];b[i]=rec[i]/d;a[i]=qmul(x,hp[i]/d,b[i]);    //真的x0推出b=rec/gcd(atk,rec)，a=x0
         }
         if(same){    //特判hp=rec
             ll ans=ll(ceil(1.0*hp[]/atk[]));
             for(int i=;i<=n;i++){
                 ll x=ceil(1.0*hp[i]/atk[i]),d=gcd(ans,x);
                 ans=ans/d*x;
             }
             printf("%lld\n",ans);continue;
         }
         if(!exist) continue;
         ll ans=a[],mod=b[];    //开始EXCRT（以下模板，不解释，可以去我的另一个博客看）
         for(int i=;i<=n;i++){
             ll x,y,d=exgcd(mod,b[i],x,y),r=((a[i]-ans)%b[i]+b[i])%b[i],tmp=mod/d*b[i];
             if(r%d){puts("-1");exist=false;break;}
             x=(x+b[i])%b[i];x=qmul(x,r/d,b[i]);
             ans=(qmul(mod,x,tmp)+ans)%tmp;
             mod=tmp;
         }
         if(!exist) continue;
         printf("%lld\n",ans);    //终于没了
     }
 }

NOI2018D2T1_dragon（EXCRT）

终于啊……