【COGS】2287：[HZOI 2015]疯狂的机器人 FFT+卡特兰数+排列组合

【题意】[COGS 2287][HZOI 2015]疯狂的机器人

【算法】FFT+卡特兰数+排列组合

【题解】先考虑一维的情况，支持+1和-1，前缀和不能为负数，就是卡特兰数的形式。

设C(n)表示第n/2个卡特兰数，当n为奇数时为0，即：

$$C_n=\binom{n}{\frac{n}{2}}-\binom{n}{\frac{n}{2}-1},n\%2=0$$

卡特兰数可以通过预处理阶乘和逆元后O(1)计算。

设f[n]表示走n步回到原点的操作序列数，那么答案要求所有f[i]，通过枚举纵向行走的数量，很容易得到：

$$f[n]=\sum_{i=0}^{n}C_i*C_{n-i}*\binom{n}{i}=n!*\sum_{i=0}^{n}\frac{C_i}{i!}*\frac{C_{n-i}}{(n-i)!}$$

卷积，复杂度O(n log n)。

最后答案是：

$$ans=\sum_{i=0}^{n}f[i]*\binom{n}{i}$$