[CSP-S模拟测试]:不等式（数学）

题目描述

小$z$热衷于数学。
今天数学课的内容是解不等式：$L\leqslant S\times x\leqslant R$。小$z$心想这也太简单了，不禁陷入了深深的思考：假如已知$L,R,S,M$，满足$L\leqslant (S\times x)\mod M\leqslant R$的最小正整数该怎么求呢？

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输入格式

第一行包含一个整数$T$，表示数据组数，接下来是$T$行，每行为四个正整数$M,S,L,R$。

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输出格式

对于每组数据，输出满足要求的$x$值，若不存在，输出$-1$。

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样例

样例输入：

1
5 4 2 3

样例输出：

2

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数据范围与提示

$30\%$的数据中保证有解并且答案小于等于${10}^6$；
另外$20\%$的数据中保证$L=R$；
$100\%$的数据中$T\leqslant 100,M,S,L,R\leqslant {10}^9$。

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题解

$30\%$算法：

直接暴力枚举即可。

$20\%$算法：

$L=R$的情况直接用$exgcd$即可轻松解决。

$100\%$算法：

先设$0<L,R\leqslant <M,0<S<M$。

显然所存在一个$S$的倍数$S\times x$满足$L\leqslant S\times x\leqslant R$，那么此时的答案就是$x$。

若不存在，不妨将式子$L\leqslant (S\times x)\mod M\leqslant R$改写成$L\leqslant S\times x-M\times y\leqslant R$。

进一步改写成以$y$为主元，即$-R\leqslant M\times y-S\times x\leqslant -L$。

接着将其还原为取模的形式：$(-R\mod S)\leqslant (M\times y)\mod S\leqslant (-L\mod S)$。

求出最小的满足上式的$y$值即可简介求出最小的$x$值（区间$[L,R]$中没有$S$的倍数）。

建议调用递归函数解决问题，降低代码复杂度。

时间复杂度：$\Theta($玄学$)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long M,S,L,R;
long long dfs(long long m,long long s,long long l,long long r)
{
	if(l>r||m<l)return -1;
	if(((l-1)/s+1)*s<=r)return (l-1)/s+1;
	long long flag;
	if((flag=dfs(s,m%s,(-r%s+s)%s,(-l%s+s)%s))==-1)return -1;
	if(l+m*flag<=(m*flag+r)/s*s)return (m*flag+r)/s;
	return -1;
}
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&M,&S,&L,&R);
		printf("%lld\n",dfs(M,S%M,L,min(R,M-1)));
	}
	return 0;
}

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rp++