[NOI2010] 能量采集 (数学)

[NOI2010] 能量采集

题目描述

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。

由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能 量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。

在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

输入输出格式

输入格式：

仅包含一行，为两个整数n和m。

输出格式：

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

输入输出样例

输入样例#1：

5 4

输出样例#1：

36

输入样例#2：

3 4

输出样例#2：

20

说明

对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；

对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；

对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；

对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

Solution

对于题意,大致就是求这个

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)\times 2-1
\]

\(gcd(i,j)\)表示(0,0)到(i,j)直线上点的个数+1

其实就是对于一个公约数x,方案数就是\((x\times 2-1)\times(\)以\(x\)为\(gcd\)的数对的个数\()\)

我们令\(f[x]\)表示后一个括号中的意思,显然\(f[x]=(n/x)\times (m/x)-\sum_{i=2}^{min(n,m)/d}\times d\)的倍数

那么倒序枚举就可以了

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define lol long long
using namespace std;
const int N=1e5+10;
lol ans,n,m,f[N];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    if(n>m) swap(n,m);
    for (rg int i=n;i>=1;i--) {
        f[i]=(n/i)*(m/i);
        for (rg int j=i<<1;j<=n;j+=i) f[i]-=f[j];
        ans+=((i<<1)-1)*f[i];
    }cout<<ans<<endl;
}