[BZOJ2005][NOI2010]能量采集 数学

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2005

发现与$(0,0)$连线斜率相同的点会被挡住。也就是对于$(a,b)$且$gcd(a,b)==1$，在这条连线上$(da,db)$都会被挡住。

换种表达方式就是对于任意一个点$(x,y)$，会有$gcd(x,y)-1$个点被挡住。于是被挡住的点的个数是$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)-1$$

即答案为$$Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m2*gcd(i,j)-1$$

$$\frac{Ans-n*m}{2}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)$$

现在的问题就在于如何快速求右边的东西。我们来接着推。

首先有一个东西$n=\sum_{d|n}φ(d)$，于是有$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)=$

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d|gcd(i,j)}φ(d)=$$

$$\sum_{d=1}^{min(n,m)}φ(d)\sum_{i=1}^n[d|i]\sum_{j=1}^m[d|j]=$$

$$\sum_{d=1}^{min(n,m)}φ(d)[\frac{n}{d}][\frac{m}{d}]$$

然后线性筛求欧拉函数，分块求和就行了。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 bool vis[];
 int p[],pcnt=;
 int phi[];
 ll sum[];
 void sieve(){
     sum[]=;
     for(int i=;i<=;i++){
         if(!vis[i]){
             vis[i]=true;
             p[++pcnt]=i;
             phi[i]=i-;
         }
         for(int j=;p[j]*i<=&&j<=pcnt;j++){
             vis[p[j]*i]=true;
             if(i%p[j]==){
                 phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                 break;
             }
             phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-);
         }
         sum[i]=sum[i-]+phi[i];
     }
 }
 int main(){
     sieve();
     int n,m;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     int t=min(n,m),la;
     ll ans=;
     for(int i=;i<=t;i=la+){
         la=min(n/(n/i),m/(m/i));
         ans+=(ll)(sum[la]-sum[i-])*(n/i)*(m/i);
     }
     ans=ans*-(ll)n*m;
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }