P1742 最小圆覆盖

\(\color{#0066ff}{题目描述}\)

给出N个点，让你画一个最小的包含所有点的圆。

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

先给出点的个数N,2<=N<=100000，再给出坐标Xi,Yi.(-10000.0<=xi,yi<=10000.0)

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

输出圆的半径，及圆心的坐标，保留10位小数

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

6
8.0 9.0
4.0 7.5
1.0 2.0
5.1 8.7
9.0 2.0
4.5 1.0

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

5.0000000000
5.0000000000 5.0000000000

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

none

\(\color{#0066ff}{题解}\)

随机增量法

前置知识，三点定圆

设圆上有三个点\(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)\)

我们可以找这些点的连线的任两条线，找它们垂直平分线的交点就是圆心

易得向量(线段)AB,BC

设两条线段的垂直平分线为\(A_1x+B_1y=C_1,A_2x+B_2y=C_2\)

上式的A和B分别是两个向量的x和y(法向量(可以带入验证))

之后带入AB，BC的中点来求出两个C

联立两个垂直平分线，解出来

\(x=\frac{C_2*B_1-C_1*B_2}{A_2*B_1-A_1*B_2}, y=\frac{C_2*A_1-C_1*A_2}{B_2*A_1-B_1*A_2}\)

有了圆心，半径自然好求，随便找圆上一点（A，B，C）与圆心求距离就是半径了

随机增量

初始设置第一个点为圆心，半径为0

依次扫每个点，如果不在当前圆内，则以那个点为圆心

再次扫从头开始到当前的每个点，如果不在当前圆中

则当前点与那个点作为新圆直径，构成当前圆，再次扫到当前每个点

如果仍有不在圆内的，三点定圆

#include <bits/stdc++.h>
#define _ 0
#define LL long long
inline LL in() {
	LL x = 0, f = 1; char ch;
	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
	while(isdigit(ch)) x = x * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return x * f;
}
const int maxn = 1e5 + 10;
const double eps = 1e-14;
struct node {
	double x, y;
	node(double x = 0, double y = 0)
		:x(x), y(y) {}
	double mod() {
		return sqrt(x * x + y * y);
	}
	friend node operator - (const node &a, const node &b) {
		return node(a.x - b.x, a.y - b.y);
	}
	friend node operator + (const node &a, const node &b) {
		return node((a.x + b.x) / 2.0, (a.y + b.y) / 2.0);
	}
}e[maxn];
int n;

void circle(node a, node b, node c, node &o, double &r) {
	node ab = b - a, bc = c - b, mid1 = a + b, mid2 = b + c;
	double A1 = ab.x, B1 = ab.y, A2 = bc.x, B2 = bc.y;
	double C1 = A1 * mid1.x + B1 * mid1.y, C2 = A2 * mid2.x + B2 * mid2.y;
	o = node((C2 * B1 - C1 * B2) / (A2 * B1 - A1 * B2), (C2 * A1 - C1 * A2) / (B2 * A1 - B1 * A2));r = (o - a).mod();
}

void work() {
	node o = e[1];
	double r = 0;
	for(int i = 2; i <= n; i++)
		if((e[i] - o).mod() - r > eps) {
			o = e[i], r = 0;
			for(int j = 1; j <= i - 1; j++)
				if((e[j] - o).mod() - r > eps) {
					o = e[i] + e[j];
					r = (o - e[i]).mod();
					for(int k = 1; k <= j - 1; k++)
						if((e[k] - o).mod() - r > eps)
							circle(e[i], e[j], e[k], o, r);
				}
		}
	printf("%.10f\n%.10f %.10f", r, o.x, o.y);
}

int main() {
	n = in();
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf%lf", &e[i].x, &e[i].y);
	work();
	return 0;
}