[xsy2579]counting

$\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}$题意：对于一个字符串$s$，定义$C(s)$为$s$中（出现次数最多的字母）出现的次数，问长度为$n$，字符集大小为$m$且$C(s)=k$的字符串有多少个

设$f_{i,j,k}$表示字符集大小为$i$，长度为$j$且$C(s)\leq k$的方案数，那么有$\align{f_{i,j,k}=\sum\limits_{l=0}^k\binom jlf_{i-1,j-l,k}}$（枚举最大字符的出现次数$l$，这个字符在$s$中出现的不同方案为$\align{\binom jl}$，剩下字符组成字符串的方案数为$f_{i-1,j-l,k}$）

这个DP式的第三维下标$k$没有变化，不妨删掉这维，并稍微推导一下：

$\align{f_{i,j}&=\sum\limits_{j=0}^k\binom jlf_{i-1,j-l}\\\dfrac{f_{i,j}}{j!}&=\sum\limits_{j=0}^k\dfrac1{l!}\dfrac{f_{i-1,j-l}}{(j-l)!}}$

这是卷积的形式，记$\align{F_i(x)=\sum\limits_{j=0}^k\dfrac{f_{i,j}x^j}{j!}}$，则$\align{F_i(x)=F_{i-1}(x)\left(\sum\limits_{j=0}^k\dfrac1{j!}\right)}$，直接快速幂就可以了，于是$\align{f_{i,j,k}=n!\left[x^n\right]\left(\sum\limits_{j=0}^k\dfrac1{j!}\right)^m}$，答案为$f_{i,j,k}-f_{i,j,k-1}$

#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int mod=998244353;
typedef long long ll;
int mul(int a,int b){return a*(ll)b%mod;}
int ad(int a,int b){return(a+b)%mod;}
int de(int a,int b){return(a-b)%mod;}
int pow(int a,int b){
	int s=1;
	while(b){
		if(b&1)s=mul(s,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return s;
}
int rev[131072],N,iN;
void pre(int n){
	int i,k;
	for(N=1,k=0;N<n;N<<=1)k++;
	for(i=0;i<N;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
	iN=pow(N,mod-2);
}
void swap(int&a,int&b){a^=b^=a^=b;}
void ntt(int*a,int on){
	int i,j,k,t,w,wn;
	for(i=0;i<N;i++){
		if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for(i=2;i<=N;i<<=1){
		wn=pow(3,(on==1)?(mod-1)/i:(mod-1-(mod-1)/i));
		for(j=0;j<N;j+=i){
			w=1;
			for(k=0;k<i>>1;k++){
				t=mul(w,a[i/2+j+k]);
				a[i/2+j+k]=de(a[j+k],t);
				a[j+k]=ad(a[j+k],t);
				w=mul(w,wn);
			}
		}
	}
	if(on==-1){
		for(i=0;i<N;i++)a[i]=mul(a[i],iN);
	}
}
void pow(int*a,int n,int k,int*s){
	int i;
	s[0]=1;
	pre((n+1)<<1|1);
	while(k){
		ntt(a,1);
		if(k&1){
			ntt(s,1);
			for(i=0;i<N;i++)s[i]=mul(s[i],a[i]);
			ntt(s,-1);
			for(i=n+1;i<N;i++)s[i]=0;
		}
		for(i=0;i<N;i++)a[i]=mul(a[i],a[i]);
		ntt(a,-1);
		for(i=n+1;i<N;i++)a[i]=0;
		k>>=1;
	}
}
int fac[50010],rfac[50010],a[131072],b[131072];
int solve(int n,int m,int k){
	int i;
	memset(a,0,sizeof(a));
	memset(b,0,sizeof(b));
	for(i=0;i<=k;i++)a[i]=rfac[i];
	pow(a,n,m,b);
	return mul(b[n],fac[n]);
}
int main(){
	int n,m,k,i;
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	fac[0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	rfac[n]=pow(fac[n],mod-2);
	for(i=n;i>0;i--)rfac[i-1]=mul(rfac[i],i);
	printf("%d",(de(solve(n,m,k),solve(n,m,k-1))+mod)%mod);
}