iga 入门之 有限元解题步骤

简介

摘自 流体力学数值方法

步骤

1. 写出积分表达式
   
   根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立起微分方程初边值问题等价的几分表达式。这和Ritz-Galerkin法解题时的第一步是完全一致的，即写出积分表达式(1-83).这是有限元方法解题的出发点。
2. 区域剖分
   
   根据求解区域的形状以及实际问题的物理特点，将区域剖分成若干大小不一、集合形状规则的单元，并确定单元中的结点数目与位置；然后对电源、结点按一定要求进行编号。
3. 确定单元基函数
   
   根据单元中结点数目及对近似解可微性要求，选择满足一定插值条件的插值函数为单元基函数。
4. 单元分析
   
   单元分析的目的是建立单元有限元方程。将单元中的近似解表示为单元基函数的线性组合，再将它带入积分表达式中，并对单元区域进行积分，就可获得含有待定系数的代数方程组（或常微分方程组）。这个方程组一般称为单元有限元方程。如果是线性问题，就是导出单元有限元方程的系数矩阵（也称单元敢赌矩阵）。
5. 总体合成
   
   所谓总体合成，就是将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。实质是将分解开的单元积分表达式重新合起来，形成总体区域上的积分表达式。总体有限元方程中的未知数正是求解函数在各个结点上的参量（函数值或其导数值）。线性问题，就是将单元系数矩阵合称为总体系数矩阵。
6. 边界条件处理
   
   自然边界条件一般在积分表达式中得到满足。边界条件处理主要是如何使本质边界上结点的函数值满足指定的本质边界条件。这可以通过对总体有限元方程按一定法则进行修正而实现。
7. 解总体有限元方程，计算有关物理量
   
   根据本质边界条件修正后的总体有限元方程，是含有全部未知待定量的封闭方程组，可采用合适的数值计算方法求解。当求出全部待定量后，即可获得近似解的表达式，就可根据题意计算有关物理量。