关于数位DP的学习

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因为最近做比赛经常会出现数位DP，便尝试着去学学看数位DP。

先给出两篇论文的链接：

《数位计数问题解法研究》

《浅谈数位类统计问题》

然后也是寻找了很多大牛的博客，学习了很多（但是没学会囧。），现在先总结一下已经学到的东西

“在信息学竞赛中，有这样一类问题：求给定区间中，满足给定条件的某个D 进制数或
此类数的数量。所求的限定条件往往与数位有关，例如数位之和、指定数码个数、数的大小
顺序分组等等。题目给定的区间往往很大，无法采用朴素的方法求解。此时，我们就需要利
用数位的性质，设计log(n)级别复杂度的算法。解决这类问题最基本的思想就是“逐位确定”
的方法。下面就让我们通过几道例题来具体了解一下这类问题及其思考方法。”——刘聪

事实上，为什么会想到用数位DP来做，就是因为限定条件往往和数位有关，而仔细地朴素的暴力方法中，所做的重复的工作太多。这样的条件会使得DP（记忆化搜索）有用武之地。

目前我所接触到的大多数的题，都是可以通过记录某些值（比如数位等）来减少重复的运算。当然，因为此类题的特殊性，可以编写check函数确定代码的正确性。

再偷用某个大牛的一句话：其实数位DP(或者说所有记忆化搜索)都是可以看做通过搜索来填满状态的值。

首先先想想数位DP的运行模式

如果我们要统计[0,54321]中满足某个条件的个数，需要将其拆分为

[00000,09999][10000,19999],[20000,29999],[30000,39999],[40000,49999]，

[50000,50999],[51000,51999],[52000,52999],[53000,53999]，

[54000,54099],[54100,54199],[54200,54299]，

[54300,54309],[54310,54319]，

[54320,54321]

为什么要这么分呢？随便举个例子，如果我们统计过了[0000,9999]中的满足条件（或者其他各种不满足条件的状态）的个数，那么分别在加上前缀，就可以判断出有多少个满足条件的个数。目的是为了将大的区间划分为小的区间进行求解。

因此，总结一句话，数位DP减少的运算量为：前面几位固定，后面几位可以任意取的个数统计。

比如分析一道简单题：HDU 3652，通过我这个渣渣的错误历程来分析一些细节上的问题

先贴错误代码

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 int dp[20][20][20];
 6 int num[20];
 7 int dfs(int pos,int mod,int pre,int stat,int limit){
 8     if(pos==0) return mod==0&&stat;
 9     if(!limit&&dp[pos][mod][pre]!=-1) return dp[pos][mod][pre];
10     int ans=0;
11     int end=limit?num[pos]:9;
12     for(int i=0;i<=end;i++){
13         int nmod=(mod*10+i)%13;
14         int nstat=(pre==1&&i==3)||stat;
15         ans+=dfs(pos-1,nmod,i,nstat,limit&&i==end);
16     }
17     if(!limit) dp[pos][mod][pre]=ans;
18     return ans;
19 }
20 int cal(int x){
21     int cnt=0;
22     memset(num,0,sizeof(num));
23     while(x){
24         num[++cnt]=x%10;
25         x/=10;
26     }
27     return dfs(cnt,0,0,0,1);
28 }
29 int main()
30 {
31     int i,j;
32     int n;
33     memset(dp,-1,sizeof(dp));
34     while(scanf("%d",&n)!=EOF){
35         int ans=cal(n);
36         printf("%d\n",ans);
37     }
38     return 0;
39 }

我选取的记录参数有三个：pos当前处理位，mod前缀和余数，还有前一位的数字pre

但是运算结果却始终会小于等于正确的答案，为什么呢？

想了想，发现其实是因为参数含义的问题。

分析一下，如果我将pre作为一个关键参数记录下来，其实我并不能区分我记录的是后面几位能不能随机取的个数。

即当下一次搜索到pos，mod，pre的时候，不能确定前面是否有13，或者以前搜索的DP[pos][mod][pre]中的数的个数是否有13。

因此应该把记录的参数改为pos，mod，stat（表示为记录状态，0为不含13，1为只含前一位为1，2为前缀含有13）。

因此得到下面的AC代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[20][20][3];
int num[20];
int dfs(int pos,int mod,int stat,int limit){
    if(pos==0) return mod==0&&stat==2;
    if(!limit&&dp[pos][mod][stat]!=-1) return dp[pos][mod][stat];
    int ans=0;
    int end=limit?num[pos]:9;
    for(int i=0;i<=end;i++){
        int nmod=(mod*10+i)%13;
        int nstat;
        if(stat==1&&i==3||stat==2) nstat=2;
         else if(i==1) nstat=1;
          else nstat=0;
        ans+=dfs(pos-1,nmod,nstat,limit&&i==end);
    }
    if(!limit) dp[pos][mod][stat]=ans;
    return ans;
}
int cal(int x){
    int cnt=0;
    memset(num,0,sizeof(num));
    while(x){
        num[++cnt]=x%10;
        x/=10;
    }
    return dfs(cnt,0,0,1);
}
int main()
{
    int i,j;
    int n;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        int ans=cal(n);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

好了讲完了