luogu P4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和

传送门

这一类题都要考虑推式子

首先，原式为$$f(n)=\sum_{i=0}^{{n}\sum_{j=0}}{i}S(i,j)2^jj!$$

可以看成$$f(n)=\sum_{j=0}^{n}2j*j!\sum_{i=j}^{n}S(i,j)$$

又因为$$S(i,j)=\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^{j}(-1)k\binom{j}{k}(j-k)^i$$

所以$$f(n)=\sum_{j=0}^{n}2jj!\sum_{i=0}^{{n}\frac{1}{j!}\sum_{k=0}}{j}(-1)^{k*\binom{j}{k}*(j-k)}i$$$$f(n)=\sum_{j=0}^{n}2jj!\sum_{i=0}^{{n}\frac{1}{j!}\sum_{k=0}}{j}(-1)^{k*\frac{j!}{k!(j-k)!}*(j-k)}i$$$$f(n)=\sum_{j=0}^{n}2jj!\sum_{i=0}^{{n}\sum_{k=0}}{j}(-1)^{k*\frac{1}{k!(j-k)!}*(j-k)}i$$$$f(n)=\sum_{j=0}^{n}2jj!\sum_{k=0}^{{j}\frac{(-1)}k}{k!}*\frac{\sum_{i=0}^{n}(j-k)i}{(j-k)!}$$

后面一个\(\sum\)是卷积形式,可以\(NTT\)求解,(其中\(\frac{\sum_{i=0}^{n}j^i}{j!}=\frac{j^{n+1}-1}{(j-1)j!}\))

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define db double
#define il inline
#define re register

using namespace std;
const int N=100000+10,M=270000+10,mod=998244353,g=3;
il int rd()
{
  int x=0,w=1;char ch=0;
  while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
  return x*w;
}
int n,m,nn,l,a[M],b[M],rdr[M];
il int fpow(int a,int b)
{
  int an=1;
  while(b){if(b&1) an=1ll*an*a%mod;a=1ll*a*a%mod,b>>=1;}\
  return an;
}
il void ntt(int *a,int op)
{
  int W,w,x,y;
  for(int i=0;i<nn;++i) if(i<rdr[i]) swap(a[i],a[rdr[i]]);
  for(int i=1;i<nn;i<<=1)
    {
      W=fpow(g,(mod-1)/(i<<1));
      if(op==-1) W=fpow(W,mod-2);
      for(int j=0;j<nn;j+=i<<1)
        {
          w=1;
          for(int k=0;k<i;++k,w=1ll*w*W%mod)
            {
              x=a[j+k],y=1ll*w*a[j+k+i]%mod;
              a[j+k]=(x+y)%mod,a[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
}
int fac[N],iac[N],inv[N];

int main()
{
  n=rd();
  fac[0]=1;
  for(int i=1;i<=n;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
  iac[n]=fpow(fac[n],mod-2);
  for(int i=n;i>=1;--i) iac[i-1]=1ll*iac[i]*i%mod;
  for(int i=1;i<=n;++i) inv[i]=1ll*iac[i]*fac[i-1]%mod;
  for(int i=0,j=1;i<=n;++i,j=-j) a[i]=(1ll*j*iac[i]%mod+mod)%mod;
  for(int i=0;i<=n;++i) b[i]=1ll*(fpow(i,n+1)-1)*iac[i]%mod*inv[i-1]%mod;
  b[0]=1,b[1]=n+1;
  m=n+n;
  for(nn=1;nn<=m;nn<<=1) ++l;
  for(int i=0;i<nn;++i) rdr[i]=(rdr[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
  ntt(a,1),ntt(b,1);
  for(int i=0;i<nn;++i) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
  ntt(a,-1);
  int invnn=fpow(nn,mod-2),ans=0;
  for(int i=0,j=1;i<=n;++i,j=(j<<1)%mod)
    ans=(ans+1ll*j*fac[i]%mod*a[i]%mod*invnn%mod)%mod;
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}