P2599 [ZJOI2009]取石子游戏 做题感想

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前言

发现自己三岁时的题目都不会做。

我发现我真的是菜得真实。

正文

神仙构造，分讨题。

不敢说有构造，但是分讨我只服这道题。

看上去像是一个类似 \(Nim\) 游戏的变种，经过不断猜测结论无果后果断弃疗。

（然后我就出门右转直接进了题解区），在这里记录一下自己的理解。

设 \(l_{i,j}\) 表示在 \(i\sim j\) 这个区间左边再加一堆 \(l_{i,j}\) 的石子时，先手必败。

同理，设 \(r_{i,j}\) 表示在 \(i\sim j\) 这个区间右边再加一堆 \(r_{i,j}\) 的石子时，先手必败。

（以下的所有证明以及验证我们都以 \(l_{i,j}\) 为准，\(r_{i,j}\) 情况相同）。

等等，如果上述满足条件的石子个数不唯一，怎么办？

好像不太好搞欸，是不是要再开一维数组？

既然不唯一的情况这么困难，为什么不想想会不会存在这种情况呢？

证明：

我们假设 \(l_{i,j}\) 存在两种可能 \(a\) 和 \(b\) ，且我们钦定 \(a < b\)。

既然 \(a\) 和 \(b\) 都满足要求，所以此时都是必败态。

但是很显然，我们可以让先手对于 \(b\) 的情况一直取直到 \(a\) 。

此时先手让后手到了一个必败态所以先手必败。？？（对，这就是不唯一时的推理）

所以可以得出，\(l_{i,j}\) 一定是唯一的。

那万一 \(l_{i,j}\) 不存在怎么办？

等一等，\(l_{i,j}\) 是不是一定存在呢？

在这里我口胡一下：

因为对于所有的 \([i,j]\) 区间都不存在 \(l_{i,j}\) ，则对于所有从左边拿的一定是必胜态。

但是如果只有一堆石子 \(a\) 的话：此时可以发现 \(l_{i,j} = a\) 因为此时先手怎么取后手也学者他。

这样的话后手会取完最后一个石子。

所以，\(l_{i,j}\) 一定是存在的的。

---

现在来进行刺激的分讨过程。

我在这里会对每一种可能的结果进行简要的说明。

• 首先我们先来考虑边界的情况：
  
  就和我之前说的一样 \(l_{i,i} = a_i\) ， \(r_{i,i}\) 同理。

为了方便起见，我们令 \(x=a_j\) ， \(L =l_{i,j-1}\) ， \(R=r_{i,j-1}\) 。

• （ \(x < L\) 且 \(x <R\) ） 或者 （ \(x > L\) 且 \(x >R\) ）
  
  \(l_{i,j} = x\) 。

此时我们可以运用类似之前的方法，先手取什么，后手就取什么。

那么最后的结果就是先手先取完了左右两端石子中的一堆。

然后后手可以随便取另一边的一堆，使得此堆的数量变成 \(l_{i,j}\) 或 \(r_{i,j}\) 。

• \(R<x<L\)
  
  \(L_{i,j} = x-1\)

假设先手先拿了左边这一堆。

那么假设还剩下了 \(x\) 个石子，如果 \(x<R\)，后手把右侧的那一堆也给拿成 \(x\) 就成了（ \(x < L\) 且 \(x <R\) ）这种情况。

如果 \(x\geq R\)，那么后手把最后那一堆拿成 \(x+1\)，于是又回到了我们讨论的这种情况。

同理，我们也可以推出右边先取玩的的情况。

• \(L<x<R\)
  
  \(L_{i,j} = x+1\)
  
  和上一种基本上是一摸一样，在这里就不讲了。

Code

#include <bits/stdc++.h>

#define file(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)

#define Enter puchar('\n')
#define quad putchar(' ')

const int N = 1005;

int T, a[N], l[N][N], r[N][N];

signed main(void) {
//  file("P2599");
  std::cin >> T;
  for (int test = 1, n; test <= T; test++) {
    std::cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      l[i][i] = r[i][i] = a[i];
    for (int len = 1; len <= n; len ++) {
      for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) {
        int j = i + len - 1;
        int L, R, x;
        x = a[j];
        L = l[i][j - 1]; R = r[i][j - 1];
        if (R == x) l[i][j] = 0;
        else if (x < L && x < R) l[i][j] = x;
        else if (x > L && x > R) l[i][j] = x;
        else if (R < x && x < L) l[i][j] = x - 1;
        else l[i][j] = x + 1;
        x = a[i];
        L = l[i + 1][j]; R = r[i + 1][j];
        if (L == x) r[i][j] = 0;
        else if (x < L && x < R) r[i][j] = x;
        else if (x > L && x > R) r[i][j] = x;
        else if (R < x && x < L) r[i][j] = x + 1;
        else r[i][j] = x - 1;
      }
    }
    if (l[2][n] == a[1]) std::cout << "0" << std::endl;
    else std::cout << "1" << std::endl;
  }
}