Luogu P1613 跑路 题解 [ 蓝 ] [ 倍增 ] [ Floyd 最短路 ] [ 状压 dp ]

跑路：绝佳倍增好题，思路是化 \(2^k\) 为 \(1\) ，倍增起预处理作用。

最近不知道是撞了什么运，前一脚看的是绿题，写完之后交一发，发现直接被 lxl 升蓝了，血赚。

思路：Floyd

首先观察到每次走 \(2^k\) 的代价为 \(1\) ，我们可以预处理出每次走 \(2^i\) 能到哪些点。

但为了让这题的代码更好实现一些，观察到 \(n\) 较小，只有 \(50\) ，于是就可以定义邻接矩阵，\(g[i][j][k]\) 表示从 \(j\) 走 \(2^i\) 步能否到 \(k\) 点，能到即为 \(1\) 。

于是转移方程就出来了，我们枚举一下中点 \(l\) ，然后：

\[g[i][j][k]=g[i][j][k] | (g[i-1][j][l] \& g[i-1][l][k])
\]

这样我们就求出某个点能否用 \(1\) 的代价到另一个点，化 \(2^k\) 成 \(1\) 了。

接下来就直接建边，跑 Floyd 或者其他乱七八糟的算法求最短路即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pi;
int n,m,f[55][55];
bitset<55>g[70][55];
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	//prepare
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		g[0][u][v]=1;
	}
	for(int i=1;i<=64;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			for(int k=1;k<=n;k++)
			{
				for(int l=1;l<=n;l++)
				{
					g[i][j][k]=g[i][j][k]|(g[i-1][j][l]&g[i-1][l][k]);
				}
			}
		}
	}
	//build graph
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=0;
	for(int i=0;i<=64;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			for(int k=1;k<=n;k++)
			{
				if(g[i][j][k]==1)f[j][k]=min(f[j][k],1);
			}
		}
	}
	//Floyd
	for(int k=1;k<=n;k++)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
			}
		}
	}
	cout<<f[1][n];
	return 0;
}

思路：状压 dp

口胡一下，和上面的那种方法差不多。

首先用 vector 记录下从点 \(i\) 走 \(2^k\) 步能到哪些点，然后就建出了一张图。

接下来从 \(0\) 的状态开始，层层向外拓展能到达的点，最后拓展到 \(n\) 时 break 掉并输出此时拓展的层数即可。

注意状态用 ll 存，int 开不下。