Luogu 1613 跑路（最短路径，倍增）

Description

小A的工作不仅繁琐，更有苛刻的规定，要求小A每天早上在6：00之前到达公司，否则这个月工资清零。可是小A偏偏又有赖床的坏毛病。于是为了保住自己的工资，小A买了一个十分牛B的空间跑路器，每秒钟可以跑2^k千米（k是任意自然数）。当然，这个机器是用longint存的，所以总跑路长度不能超过maxlongint千米。小A的家到公司的路可以看做一个有向图，小A家为点1，公司为点n，每条边长度均为一千米。小A想每天能醒地尽量晚，所以让你帮他算算，他最少需要几秒才能到公司。数据保证1到n至少有一条路径。

Input

第一行两个整数n，m，表示点的个数和边的个数。

接下来m行每行两个数字u，v，表示一条u到v的边。

Output

一行一个数字，表示到公司的最少秒数。

Sample Input

4 4

1 1

1 2

2 3

3 4

Sample Output

１

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=1613

Source

最短路径，倍增

解决思路

这道题目是最短路径与倍增算法的综合运用。

我们知道Floyed求最短路径的原理是用一个点k来修改i到j的最短距离。在这道题中，我们要灵活地用到这个方法。

因为本题中小A每秒可以跑2^k（k为任意数），所以直接求最短路径是不对的。我们可以与处理出小A１秒钟可以到达的边，这个用Floyed实现，再用一个Floyde或spfa求出1到n的最短路径就可以了。

那么关键就是如何进行预处理呢？

我们可以用一个数组F来记录，F[i][u][v]表示u到v能否通过2^{i到达，这也就是1秒。在读入的时候我们就可以得出F[0][u][v]的值，然后从1~32（因为maxlongint就是2}31）枚举i，同时枚举u和v，借助Floyed用第三个点来修改的这种思想，我们再枚举一个点k，若F[i-1][u][k]和F[i-1][k][v]同时为真，则说明F[i][u][v]为真（因为2^(i-1)+2(i-1)=2*i）。这样我们就可以与处理出所有１秒可以到的边。

然后再跑一边最短路就可以了。

代码

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxN=60;

const int inf=2147483647;

int n,m;

int G[maxN][maxN];

bool F[40][maxN][maxN];

int main()

{

    memset(G,120,sizeof(G));

    memset(F,0,sizeof(F));

    cin>>n>>m;

    for (int i=1;i<=m;i++)

    {

        int u,v;

        cin>>u>>v;

        G[u][v]=1;

        F[0][u][v]=1;//读入的同时给F赋初值

    }

    for (int i=1;i<=36;i++)//计算F，预处理

        for (int u=1;u<=n;u++)

            for (int v=1;v<=n;v++)

                for (int k=1;k<=n;k++)

                        if ((F[i-1][u][k]==1)&&(F[i-1][k][v]==1))

                        {

                            F[i][u][v]=1;

                            G[u][v]=1;

                        }

    for (int i=1;i<=n;i++)//再用最短路求出1~n的最短距离

        for (int j=1;j<=n;j++)

                for (int k=1;k<=n;k++)

                    if (G[i][k]+G[k][j]>=0)

                        G[i][j]=min(G[i][j],G[i][k]+G[k][j]);

    cout<<G[1][n]<<endl;

    return 0;

}