NYOJ 914 Yougth的最大化

Yougth的最大化

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难度：4

描写叙述

Yougth如今有n个物品的重量和价值各自是Wi和Vi，你能帮他从中选出k个物品使得单位重量的价值最大吗？

输入

有多组測试数据

每组測试数据第一行有两个数n和k。接下来一行有n个数Wi和Vi。

(1<=k=n<=10000) (1<=Wi,Vi<=1000000)

输出

输出使得单位价值的最大值。（保留两位小数）

例子输入

3 2
2 2
5 3
2 1

例子输出

0.75

分析：

要想取得单位重量价值最大，须要在0-Max之间二分搜索。Max为随意选物品所得的单位重量最大价值。

Max = max（v[i] / w[i] | i = 0...n - 1）。

为什么Max如此取值，以下证明：

如果一对vi。wi 满足： vi / wi = max（v[i] / w[i] | i = 0......n-1）,任取一对 vk。wk (k != i)，则有vi / wi > vk / wk，

即：vi * wk > vk * wi 把它记为公式1。

证明：

要证的是 (vi + vk1 +...+ vk2) / (wi + wk1 +...+ wk2) <= vi / wi, (0<=k1<=k2<=n-1 && k1 != i && k2 != i),

1.当k1 = k2 = 0 时，即不添加。上式等号成立。

2.为便于证明，此处仅仅添加vk(k != i)，它具有普通性。即证(vi + vk) / (wi + wk) < vi / wi，

即wi(vi + vk) < vi(wi + wk)。也就是vi * wk > vk * wi，此式即为公式1。成立！

3.当添加2......n-1 个数时也成立。

4.证毕。

对于cleck(a)若不理解见代码以下具体解释。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 10000 + 5;
double x[maxn], w[maxn], v[maxn];   //全定义为double，便于计算
int n, k;
bool cleck(double a){
    for(int i = 0; i < n; i++) x[i] = v[i] - a * w[i];
    sort(x, x + n);
    double sum = 0;
    for(int i = 0; i < k; i++) sum += x[n - i - 1];  //贪心，由大到小取
    return sum >= 0 ?

true : false;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d", &n, &k)){
        double Max = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            scanf("%lf%lf", &w[i], &v[i]);
            Max = max(Max, v[i] / w[i]);
        }
        double L = 0, R = Max;
        while(R - L > 1e-4){          //二分查找最优值
            double M = (L + R) / 2;
            if(cleck(M)) L = M;
            else R = M;
        }
        printf("%.2lf\n", L);
    }
    return 0;
}

cleck(a)为检查单位重量价值a是否可取。若可取。需满足

(vk1 +...+ vk2) / (wk1 +...+ wk2) >= a (0<=k1<=k2<=n-1),

即vk1 +...+ vk2 >= a(wk1 +...+ wk2),

即vk1 - a * wk1 +...+ vk2 - a * wk2 >= 0

所以尽量取vki - a * wki(即代码中xi)大的才有可能满足。