洛谷3809 SA模板 后缀数组学习笔记（复习）

其实SA这个东西很久之前就听过qwq

但是基本已经忘的差不多了

嘤嘤嘤

QWQ感觉自己不是很理解啊

所以写不出来那种博客

QWQ只能安利一些别人的博客了

小老板

真的是讲的非常好

不要在意名字

orz，膜拜他们

顺便弄上自己的代码（里面有一些需要注意的地方）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk makr_pair
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}
const int maxn = 2e6+1e2;
int wb[maxn];
int rk[maxn];
int sa[maxn],tmp[maxn];
char a[maxn];
int h[maxn],height[maxn];
int n;
void getsa()
{
 int *x=rk,*y=tmp;
 int s = 128;
 for (int i=1;i<=n;i++) x[i]=a[i],y[i]=i; //初始每个长度为1的后缀的rank是他自己的字符大小，第二关键字相当于空，那么就顺次赋值为i
 for (int i=1;i<=s;i++) wb[i] =0;
 for (int i=1;i<=n;i++) wb[x[y[i]]]++; // 这里其实基数排序的时候，x表示上一轮的rank，y[i]表示第二关键字排名为i的第一关键字的位置是多少
    for (int i=1;i<=s;i++) wb[i]+=wb[i-1];//做前缀和就能更好的算出来排名，比如说有3个a，2个b，那么自然第一个b的排名就要从4开始
 for (int i=n;i>=1;i--) sa[wb[x[y[i]]]--]=y[i]; //只能感性理解了啊qwq之所以倒着枚举是为了保证在第一关键字相同的时候，第二关键字也是有序的
 int p = 0;
 for (int j=1;p<n;j<<=1) //p是指本质不同的串的个数
 {
  //x表示上一轮的rank
  //y表示排名为i的第二关键字的第一关键字的位置是多少（空优先）
  p=0;
  //这里可以这么理解，如果一个串他的位置是大于n-j+1，那么他一定是没有第二关键字的。
  for (int i=n-j+1;i<=n;i++) y[++p]=i; //第二关键字为空，就排名靠前
     for (int i=1;i<=n;i++) if (sa[i]>j) y[++p]=sa[i]-j; //如果排名为i的位置是大于j的，那么他可以成为一个第二关键字，并且第一关键字的位置应该是sa[i]-j;
  for (int i=1;i<=s;i++) wb[i]=0;
  for (int i=1;i<=n;i++) wb[x[y[i]]]++;
  for (int i=1;i<=s;i++) wb[i]+=wb[i-1];
  for (int i=n;i>=1;i--) sa[wb[x[y[i]]]--]=y[i]; //这里i之所以从n开始，因为我们要保证排序第一关键字的时候，第二关键字一定也是符合原来的顺序的，就是说，原来第二关键字大的，一定在后面(这个是基数排序的思想）
  swap(x,y);//交换之后，y表示上一轮的rank，x是一个新的数组
  p=1;
  x[sa[1]]=1;
  //若两个串的两部分在上一轮rank都相等的话， 那么无法分辨，所以p不用加
  for (int i=2;i<=n;i++) x[sa[i]] = (y[sa[i]]==y[sa[i-1]] && y[sa[i-1]+j]==y[sa[i]+j]) ? p : ++p;
  s=p;
 }
 for (int i=1;i<=n;i++) rk[sa[i]]=i;
 h[0]=0;
 for (int i=1;i<=n;i++)
 {
  //h[i]表示i号后缀与它前一名的后缀的最长公共前缀
  //height[i]表示排名为i的后缀和排名为i-1的后缀的lcp
  h[i]=max(h[i-1]-1,0);
  while (i+h[i]<=n && sa[rk[i]-1]+h[i]<=n && a[i+h[i]]==a[sa[rk[i]-1]+h[i]])
    h[i]++;
 }
 for (int i=1;i<=n;i++) height[i]=h[sa[i]];
}
int main()
{
  scanf("%s",a+1);
  n=strlen(a+1);
  getsa();
  for (int i=1;i<=n;i++) cout<<sa[i]<<" ";
  return 0;
}

Update

整理一些\(SA\)的小性质和经典应用。（会持续更新的）

1.求两个后缀的\(lcp\) ，应该是\(min(height[rk[i]+1],height[rk[i]+2].....height[rk[j]])\)

2.对于排名为\(i\)的后缀，与它\(lcp\)最长的后缀应该是排名为\(i-1\)，（可以理解为越靠前差异越多，越靠前，取\(min\)的区间就越长）

3.最长可重叠重复子串，应该是\(max(height[i])\)（这里把子串看成后缀的前缀，同时依据性质2就能得到）

4.给定一个子串，求不相同子串的个数，这里要这么考虑，按照字典序加入，每加入一个字符串，会新增加\(n-sa[i]+1\)个新的子串，但是会重复\(height[i]\)个，\(（只有lcp会重复，同时依据性质2)\)

5.给定两个串，求他们的最长公共子串。

将B串拼到A串后面，然后中间添加一个非法字符，然后直接想询问最大的lcp（保证\(sa[i]和sa[i-1]\)分别位于两个串即可）

6.给定两个串，求他们的公共子串数目。

将B串拼到A串后面，然后中间添加一个非法字符，然后对于每个\(height\)用单调栈维护出左右最远能扩展到哪里。然后\(ans\)加上\(height[i]*(geta(i-1,l[i]-1)*getb(r[i],i)+getb(i-1,l[i]-1)*geta(r[i],i))\)

这里之所以是这个式子的原因（第一要保证是一个端点属于A串，一个属于B串。另一个原因是因为对于一个扩展区间\([l,pos,r]\)来说，选择后缀的右端点是在\([pos,r]\)而左端点是\([l-1,pos-1]\)，因为后缀的选择的左边对于\(height\)是开区间，参考性质1。