P5319-[BJOI2019]奥术神杖【0/1分数规划,AC自动机,dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5319

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题目大意

一个长度为\(n\)的串\(T\)，用\(0\sim 9\)填充所有的\(.\)。

然后给出\(m\)个串和它们的价值。

一个填充方案的价值等于：若\(T\)中出现了\(c\)个给出的串，那价值等于它们的价值乘积开\(c\)次根。

\(1\leq m\leq 1501,1\leq V_i\leq 10^9\)

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解题思路

\[ans=\sqrt[c]{\prod V_i}
\]

\[\ln ans=\frac{1}{c}\sum (\ln V_i)
\]

然后就是一个\(0/1\)分数规划问题了，因为要匹配，所以要先跑一个\(AC\)自动机上\(dp\)就好了。

时间复杂度\(O(n^2\log 10^9)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1510;
const double eps=1e-6;
int n,m,cnt,ch[N][10],fail[N],num[N];
double w[N],v[N],f[N][N];
pair<int,int>pre[N][N];queue<int> q;
char T[N],S[N];
void Insert(char *s,double val){
	int l=strlen(s),x=0;
	for(int i=0;i<l;i++){
		int c=s[i]-'0';
		if(!ch[x][c])ch[x][c]=++cnt;
		x=ch[x][c];
	}
	v[x]+=val;num[x]++;
	return;
}
void Build(){
	for(int i=0;i<10;i++)
		if(ch[0][i])q.push(ch[0][i]);
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();q.pop();
		v[x]+=v[fail[x]];num[x]+=num[fail[x]];
		for(int i=0;i<10;i++){
			if(!ch[x][i])ch[x][i]=ch[fail[x]][i];
			else{
				fail[ch[x][i]]=ch[fail[x]][i];
				q.push(ch[x][i]);
			}
		}
	}
	return;
}
int check(double mid){
	for(int i=0;i<=cnt;i++)w[i]=v[i]-mid*num[i];
	for(int i=0;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=cnt;j++)
			f[i][j]=-1e100;
	f[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=cnt;j++){
			if(f[i-1][j]<=-1e99)continue;
			if(T[i]=='.'){
				for(int k=0;k<10;k++){
					int y=ch[j][k];
					if(f[i][y]<f[i-1][j]+w[y])
						f[i][y]=f[i-1][j]+w[y],pre[i][y].first=j,pre[i][y].second=k;
				}
			}
			else{
				int k=T[i]-'0',y=ch[j][k];
				if(f[i][y]<f[i-1][j]+w[y])
					f[i][y]=f[i-1][j]+w[y],pre[i][y].first=j,pre[i][y].second=k;
			}
		}
	}
	int root=0;
	for(int j=0;j<=cnt;j++)
		if(f[n][j]>f[n][root])root=j;
	return root;
}
void print(int k,int x){
	if(k<1)return;
	print(k-1,pre[k][x].first);
	printf("%d",pre[k][x].second);
	return;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	scanf("%s",T+1);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x;scanf("%s",S);
		scanf("%d",&x);
		Insert(S,log(x));
	}
	Build();
	double l=0,r=21;
	while(r-l>eps){
		double mid=(l+r)/2.0;
		int root=check(mid);
		if(f[n][root]>eps)l=mid;
		else r=mid;
	}
	int root=check(l);
	print(n,root);
	return 0;
}