证明 O(n/1+n/2+…+n/n)=O(nlogn)

前言

在算法中，经常需要用到一种与调和级数有关的方法求解，在分析该方法的复杂度时，我们会经常得到\(O(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\ldots+\frac{n}{n})\)的复杂度，然后我们都知道这个式子是等价于\(O(n\log n)\)的。在筛素数、字符串连续重复子串等很多算法中都有用到，用处之广，性能之优。今天不妨来证明下这个等价式。

\(O(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\ldots+\frac{n}{n})\)~\(O(n\log n)\)

分析

要证明\(O(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\ldots+\frac{n}{n})\)~\(O(n\log n)\)，只需证\(O(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n})\)~\(O(\ln n)\)——式子1.

为了证明式子1，需要证明4个定理：

1. 确界存在定理

2. 单调有界数列必定收敛

3. 数列\(\{(1+\frac{1}{n})^n\}\)单调增加，\(\{(1+\frac{1}{n})^{n+1}\}\)单调减少，两者收敛于同一极限

4. \(b_n=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n\) 收敛

确界存在定理——实数系连续性定理

描述：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

证明：<a href="http://baike.baidu.com/link?url=NojNWL0qcJWW20mxekU1GcfeD1Tp-0-JtF4oyRio7w9Th-ifVdybvf3PaSzmZKXZywk9mCGnlQ9mkPk-NySvn1b_DUqfs-Boez0kGdtwwgN9cgLyW4xYJfHUVGhdiIHQh3hilNBwuRJxARBOsGkqrSpDfuuEwxa56NjmcEgwrlSiddNVOjmmH6WirfboiLNMPo0a06RFoeFRasTvJSUaPa

" target="_blank">百度百科关于确界存在定理

单调有界数列必定收敛

描述：单调递增且有上界数列必定收敛，单调递减且有下界数列必定收敛

证明：

不妨设数列\(\{x_n\}\)单调增加且有上界，根据确界存在定理，由\(\{x_n\}\)构成的数集必有上确界\(\beta\)，满足：

(1) \(\forall n\in N^+:x_n\leq \beta;\)

(2) \(\forall \epsilon>0,\exists x_{n_0}:x_{n_0}>\beta-\epsilon。\)

取\(N=n_0\)，\(\forall n>N:\beta-\epsilon<x_{n_0}\leq x_n\leq \beta\)，因而\(\{x_n-\beta\}<\epsilon\)，于是得到\(\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=\beta\)

当数列单调递减且有下界时，同理。

数列\(\{(1+\frac{1}{n})^n\}\)单调增加，\(\{(1+\frac{1}{n})^{n+1}\}\)单调减少，两者收敛于同一极限

证明：

记\(x_n=\{(1+\frac{1}{n})^n\}\)，\(y_n=\{(1+\frac{1}{n})^{n+1}\}\)，利用平均不等式\(\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}\leq\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\)得到

\(x_n=\{(1+\frac{1}{n})^n\}\cdot1\leq [\frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1}]^{n+1}=x_{n+1}\)

\(\frac{1}{y_n}=(\frac{n}{n+1})^{n+1}\cdot 1\leq[\frac{(n+1)\frac{n}{n+1}+1}{n+2}]^{n+2}=\frac{1}{y_{n+1}}\)

这表示\(\{x_n\}\)单调增加，而\(\{y_n\}\)单调减少。又由于\(2=x_1\leq x_n<y_n\leq y_1=4\)，可知数列\(\{x_n\}\)，\(\{y_n\}\)都收敛（单调有界数列必收敛）。

因为\(y_n=x_n(1+\frac{1}{n})\)，所以它们具有相同的极限。习惯上用字母\(e\)来表示这一极限，即\(\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n+1})^n=e\)

\(e=2.718\ 281\ 828\ 459\cdots\)是一个无理数。以\(e\)为底的对数称为自然对数，通常即为\(\ln x(=\log_ex)\)。

\(b_n=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n\) 收敛

证明：

由上一定理可知，\((1+\frac{1}{n})^n<e<(1+\frac{1}{n})^{n+1}\)，由此得到\(\frac{1}{n+1}<\ln \frac{n+1}{n}<\frac{1}{n}\)。于是有：

\(b_{n+1}-b_n=\frac{1}{n+1}-\ln (n+1)+\ln n=\frac{1}{n+1}-\ln \frac{n+1}{n}<0\)

\(b_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n>\ln \frac{2}{1}+\ln \frac{3}{2}+\ln \frac{4}{3}+\ldots+\ln \frac{n+1}{n}-\ln n=\ln (n+1)-\ln n>0\)

这说明数列\(\{b_n\}\)单调减少有下界，从而收敛。（单调有界数列必收敛）

总结

已证明\(O(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n})\)~\(O(\ln n)\)，因此可知\(O(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\ldots+\frac{n}{n})\)~\(O(n\log n)\)

以后可能会附上用此公式的算法题目\(\ldots\)（待续）