40.Unique Binary Search Trees（不同的二叉搜索树）

Level：

  Medium

题目描述：

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1 ... n?

Example:

Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

思路分析：

  动态规划的思想，二叉树有个性质，就是左子树的节点值都比根小，右子树的节点值都比根大，题目说明二叉树的节点值是从1到n，所以我们能够确定如果根为k，那么左子树的值是1到k-1，右子树的值是k+1到n。还有一点是，对于一个根来说，唯一二叉树的数量是其左子树的数量乘上右子树的数量，这是简单的乘法原理。并且左右子树的形态数量跟具体的数没有关系，只跟这个树里有多少个节点有关。而根可以选择从1到n的任意数，唯一二叉树的总数，就是根为1到n的树相加。所以该问题化简为以k为根，其唯一左子树和右子树各有多少，这就是动态规划问题了，我们建立一个数组dp[ i ]，代表节点数为i的唯一子树有多少个。显然dp[0]=dp[1]=1。

代码：

public class Solution{
    public int numTrees(int n){
        int []dp=new int[n+1]; //dp[i]代表的是节点数为i的唯一子树有多少个
        dp[0]=dp[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){//表示一共有多少的节点
            for(int j=0;j<i;j++){ //表示左子树有多少节点
                dp[i]=dp[i]+dp[j]*dp[i-j-1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}