NC16664 [NOIP2004]合唱队形

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题目

题目描述

N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。

合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为 \(T_1，T_2，…，T_K\)， 则他们的身高满足\(T_1<...<T_i>T_i+1>…>T_K(1<=i<=K)\)。

你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入描述

输入的第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。

输出描述

输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

示例1

输入

8
186 186 150 200 160 130 197 220

输出

4

备注

对于50％的数据，保证有n<=20；

对于全部的数据，保证有n<=100。

题解

知识点：线性dp。

显然是LIS的变种，对同一个点求从左到右的LIS和从右到左的LIS即可。

设 \(dp[i]\) 为以 \(i\) 结尾的LIS长度。有转移方程：

\[dp[i] = \max (dp[i],dp[j]+1),0 \leq j \leq i-1
\]

时间复杂度 \(O(n^2)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int h[107], dp1[107], dp2[107];

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> h[i];
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        for (int j = 0;j < i;j++)
            if (h[j] < h[i]) dp1[i] = max(dp1[i], dp1[j] + 1);
    }
    for (int i = n;i >= 1;i--) {
        dp2[i] = 1;
        for (int j = n + 1;j > i;j--)
            if (h[j] < h[i]) dp2[i] = max(dp2[i], dp2[j] + 1);
    }
    int ans = ~(1 << 31);
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        ans = min(ans, n - dp1[i] - dp2[i] + 1);
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}