Prim算法解决最小生成树
一、最小生成树问题
什么是最小生成树问题?给你一个带权连通图,需要你删去一些边,使它成为一颗权值最小的树。
二、Prim算法
1)输入:输入一个带权连通图,顶点集合V,边集合E
2)初始化:Vnew={x},x为任意一个顶点,作为起始点,Enew={},为空
3)在集合E中选择权值最小的边<u,v>,其中u为集合Vnew中的顶点,而v不在集合Vnew中但在V中,(若有多条满足条件且权值相同时,可任选其中一条)
4)将v收录集合Vnew中,将<u,v>收录Enew中
5)重复步骤4、5,直到所有的顶点都被收录到Vnew中
6)输出:输出由Vnew和Enew所描述的最小生成树
证明:
这就是一个朴素的贪心,我们只需证明这种贪心策略是正确的。先看一下这个性质:
MST性质::设G=(V,E)是一个连通网络,U是顶点集V的一个真子集。若(u,v)是G中一条“一个端点在U中(例如:u∈U),另一个端点不在U中的边(例如:v∈V-U),且(u,v)具有最小权值,则一定存在G的一棵最小生成树包括此边(u,v)。
假如通过其他途径,已经得到一颗不包含(u,v)的最小生成树,那么把(u,v)加入到这棵生成树,必定成环,由于在某点没有选(u,v),则必定可以在环上找到一个权值不小于(u,v)的边,删去此边,用(u,v)代替,仍是一颗最小生成树且总权值更小。所以由反证法知,一定存在一棵最小生成树包含(u,v)。所以可以通过每次选择符合条件的权值最小边,来得到其中一种最小生成树。
三、算法实现
思路:这里用邻接矩阵A存储图(因为Prim适合稠密图,时间复杂度一般为O(n^2)),用数组lowcost[MAXN]记录未收录顶点到Vnew的最小费用,用vis[MAXN]记录是否已收录。
1)任取一顶点s,收录到Vnew中(这里简化为vis[s] = true)
2) 初始化,将lowcost[x]初始化为到s的费用
将下列步骤进行n-1次
3)找到最小的lowcost[x]
4)若没有找到符合条件的最小lowcost[x],跳出循环
5)将x收录到Vnew
6) 更新lowcost[ ] (因为新收录的顶点可能影响lowcost)
7)若有顶点未被收录,说明图不连通
代码:
#include<cstdio>
#include<stdbool.h>
#include<vector>
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = + ;
bool vis[MAXN];
int lowcost[MAXN];
int cost[MAXN][MAXN];
//点是从0 ~ n-1
//耗费矩阵cost[][]
int Prim(int cost[][MAXN], int s, int n)
{
int ans = ;
memset(vis, false, sizeof(vis));
vis[s] = true;
for (int i = ; i < n; i++) lowcost[i] = cost[s][i];
for (int i = ; i < n; i++)
{
int minc = INF;
int pos = -;
for (int j = ; j < n; j++)
{
if (!vis[j] && lowcost[j] < minc)
{
minc = lowcost[j];
pos = j;
}
}
if (i < n - && pos < ) return -;
vis[pos] = true;
ans += minc;
for (int j = ; j < n; j++)
{
if (!vis[j] && cost[pos][j] < lowcost[j])
lowcost[j] = cost[pos][j];
}
}
return ans;
}
四、算法优化
据说可以用二叉堆、斐波那契堆等,先给自己挖一个坑,日后再补吧。
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