一、最小生成树问题

什么是最小生成树问题?给你一个带权连通图,需要你删去一些边,使它成为一颗权值最小的树。

二、Prim算法

1)输入:输入一个带权连通图,顶点集合V,边集合E

2)初始化:Vnew={x},x为任意一个顶点,作为起始点,Enew={},为空

3)在集合E中选择权值最小的边<u,v>,其中u为集合Vnew中的顶点,而v不在集合Vnew中但在V中,(若有多条满足条件且权值相同时,可任选其中一条)

4)将v收录集合Vnew中,将<u,v>收录Enew中

5)重复步骤4、5,直到所有的顶点都被收录到Vnew中

6)输出:输出由Vnew和Enew所描述的最小生成树

证明:

这就是一个朴素的贪心,我们只需证明这种贪心策略是正确的。先看一下这个性质:

MST性质:设G=(V,E)是一个连通网络,U是顶点集V的一个真子集。若(u,v)是G中一条“一个端点在U中(例如:u∈U),另一个端点不在U中的边(例如:v∈V-U),且(u,v)具有最小权值,则一定存在G的一棵最小生成树包括此边(u,v)。

假如通过其他途径,已经得到一颗不包含(u,v)的最小生成树,那么把(u,v)加入到这棵生成树,必定成环,由于在某点没有选(u,v),则必定可以在环上找到一个权值不小于(u,v)的边,删去此边,用(u,v)代替,仍是一颗最小生成树且总权值更小。所以由反证法知,一定存在一棵最小生成树包含(u,v)。所以可以通过每次选择符合条件的权值最小边,来得到其中一种最小生成树。

三、算法实现

思路:这里用邻接矩阵A存储图(因为Prim适合稠密图,时间复杂度一般为O(n^2)),用数组lowcost[MAXN]记录未收录顶点到Vnew的最小费用,用vis[MAXN]记录是否已收录。

1)任取一顶点s,收录到Vnew中(这里简化为vis[s] = true)

2) 初始化,将lowcost[x]初始化为到s的费用

将下列步骤进行n-1次

3)找到最小的lowcost[x]

4)若没有找到符合条件的最小lowcost[x],跳出循环

5)将x收录到Vnew

6)  更新lowcost[ ]  (因为新收录的顶点可能影响lowcost)

7)若有顶点未被收录,说明图不连通

代码:

#include<cstdio>
#include<stdbool.h>
#include<vector>
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = + ;
bool vis[MAXN];
int lowcost[MAXN];
int cost[MAXN][MAXN];
//点是从0 ~ n-1
//耗费矩阵cost[][]
int Prim(int cost[][MAXN], int s, int n)
{
int ans = ;
memset(vis, false, sizeof(vis));
vis[s] = true;
for (int i = ; i < n; i++) lowcost[i] = cost[s][i];
for (int i = ; i < n; i++)
{
int minc = INF;
int pos = -;
for (int j = ; j < n; j++)
{
if (!vis[j] && lowcost[j] < minc)
{
minc = lowcost[j];
pos = j;
}
}
if (i < n - && pos < ) return -;
vis[pos] = true;
ans += minc;
for (int j = ; j < n; j++)
{
if (!vis[j] && cost[pos][j] < lowcost[j])
lowcost[j] = cost[pos][j];
}
}
return ans;
}

四、算法优化

据说可以用二叉堆、斐波那契堆等,先给自己挖一个坑,日后再补吧。

Prim算法解决最小生成树的更多相关文章

  1. HDU-1233 还是畅通工程 (prim 算法求最小生成树)

    prim 算法求最小生成树 还是畅通工程 Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Oth ...

  2. Kruskal和Prim算法求最小生成树

    Kruskal算法求最小生成树 测试数据: 5 6 0 1 5 0 2 3 1 2 4 2 4 2 2 3 1 1 4 1 输出: 2 3 1 1 4 1 2 4 2 0 2 3 思路:在保证不产生回 ...

  3. 图的建立(邻接矩阵)+深度优先遍历+广度优先遍历+Prim算法构造最小生成树(Java语言描述)

    主要参考资料:数据结构(C语言版)严蔚敏   ,http://blog.chinaunix.net/uid-25324849-id-2182922.html   代码测试通过. package 图的建 ...

  4. 【算法】prim算法(最小生成树)(与Dijkstra算法的比较)

    最小生成树: 生成树的定义:给定一个无向图,如果它的某个子图中任意两个顶点都互相连通并且是一棵树,那么这棵树就叫做生成树.(Spanning Tree) 最小生成树的定义:在生成树的基础上,如果边上有 ...

  5. prim算法【最小生成树1】

    适用范围:要求无向图 prim算法(读者可以将其读作“普里姆算法”)用来解决最小生成树问题, 其基本思想是: ·对图G(VE)设置集合S,存放已被访问的顶点, ·然后每次从集合V-S中选择与集合S的最 ...

  6. hiho 1097 最小生成树一·Prim算法 (最小生成树)

    题目: 时间限制:10000ms 单点时限:1000ms 内存限制:256MB   描述 最近,小Hi很喜欢玩的一款游戏模拟城市开放出了新Mod,在这个Mod中,玩家可以拥有不止一个城市了! 但是,问 ...

  7. hdu 1162 Eddy&#39;s picture (Kruskal算法,prim算法,最小生成树)

    题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1162 [题目大意] 给你n个点的坐标,让你找到联通n个点的一种方法.保证联通的线路最短,典型的最小生成 ...

  8. 算法设计和分析(Prim算法构建最小生成树)

    问题: 给定无向图G(N,M)表明图G有N个顶点,M条边,通过Prim算法构造一个最小生成树 分析: 算法流程: 构造好的最小生成树就是step6 运行代码: #include<cstdio&g ...

  9. Prim算法求最小生成树

    首先在介绍这个算法之前我们要之明确一下什么是最小生成树的概念: 由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树,其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 ...

随机推荐

  1. Laravel框架之Request操作

    public function request(Request $request){ //1.取值 //echo $request->input('name'); //echo $request ...

  2. SQL——登陆触发器实现限制IP

    [转载]原文地址:https://www.baidu.com/link?url=N-SM28ge21TTYky79dYk8otsjKgYCIpy-0RBSvMV25f8KSOsYczhxTOCzeNZ ...

  3. Linux文件IO操作函数概述

    文件概述 Linux中,一切皆文件.文件为操作系统服务和设备提供了一个简单而一致的接口.这意味着程序完全可以像使用文件那样使用磁盘文件.串行口.打印机和其他设备. 也就是说,大多数情况下,你只需要使用 ...

  4. 201621123016《Java程序设计》第三周学习总结

    1. 本周学习总结 1.初学面向对象,会学习到很多碎片化的概念与知识.尝试学会使用思维导图将这些碎片化的概念.知识点组织起来.请使用工具画出本周学习到的知识点及知识点之间的联系.步骤如下: 1.1 写 ...

  5. unity3d项目文件目录发布后,对应的ios/android应用目录

    Unity3d的Resource.AssetBundle与手游动态更新的报告,在这里分享一下,希望能够对各位用Unity的朋友有些许帮助.目录:1.Unity的资源数据加载2.Resource.Str ...

  6. NDAP 日志

    2014.04.29 1.理论债券价格CalculateExpetedBondPrice计算有误差 CalculateLibrary中的计算理论债券价格(计算理论期货价格的反函数)和正确结果有误差(可 ...

  7. [Xcode 实际操作]九、实用进阶-(26)对Storyboard(故事版)中的文字标签(Label)进行本地化处理

    目录:[Swift]Xcode实际操作 对Storyboard(故事版)中的文字标签(Label)进行本地化处理. 点击项目名称[DemoApp]进入项目信息面板. [Build Setting]-& ...

  8. 基于IDEA采用springboot+Mybatis搭建ssm框架简单demo项目的搭建配置流程

    一.通过对比可以原始SSM搭建流程,spring boot省去了大量的配置,极大提高了开发者的效率.原始SSM框架搭建流程见博客: https://www.cnblogs.com/No2-explor ...

  9. linux 系统运行级别(转)

    Linux系统有7个运行级别(runlevel)运行级别0:系统停机状态,系统默认运行级别不能设为0,否则不能正常启动运行级别1:单用户工作状态,root权限,用于系统维护,禁止远程登陆运行级别2:多 ...

  10. linux常用命令(ubuntu)

    编辑: vi [path] vim [path] :q 退出 :wq 保存退出 查看进程 ps ps -aux | grep mem 查看全部含 “mem”的进程 ps –aux  查看全部 在系统启 ...