【Luogu】P2303Longge的问题（莫比乌斯反演）

　　就让我这样的蒟蒻发一个简单易想的题解吧！！！

　　这题我一开始一看，woc这不是莫比乌斯反演么，推推推，推到杜教筛，输出结果一看不对

　　emmm回来仔细想想……woc推错了？

　　然后撕烤半天打了个暴力，A了

　　首先我们学过莫比乌斯反演的一般能够想到枚举gcd，记为w

　　所以我们需要求的就是$\sum\limits_{w|n}w\sum\limits_{w|i}[gcd(i,n)=w]$

　　然后……就到了激动人心的构造函数环节……

　　设$F(w)=\sum\limits_{w|i}[w|gcd(i,n)]$

　　$f(w)=\sum\limits_{w|i}[w=gcd(i,n)]$

　　于是有$F(w)=\sum\limits_{w|d}f(d)$

　　于是……$f(w)=\sum\limits_{w|d}\mu(\frac{d}{w})F(d)$

　　容易（个屁，我手玩了半年）发现，当$d|n$时$F(d)=\frac{n}{d}$，其他情况下$F(d)=0$

　　然后问题就变成了$\sum\limits_{w|n}w\sum\limits_{w|d}\mu(\frac{d}{w})F(d)$

　　设$t=\frac{d}{w}$

　　原式化为$\sum\limits_{w|n}w\sum\limits_{t|d}\mu(t)F(tw)$

　　然后我们发现了什么？

　　没错w可以暴力枚举qwq！没错t可以暴力枚举qwq！

　　因为我们枚举到根n就可以枚举出n的所有因子！　　t同理！

　　来吧让我们暴……等等$\mu$怎么算？

　　废话啊按着莫比乌斯函数的定义暴力qwq！

　　

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define maxn 5000020
using namespace std;
inline long long read(){
    long long num=,f=;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')    f=-;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch)){
        num=num*+ch-'';
        ch=getchar();
    }
    return num*f;
}

bool vis[maxn];
int prime[maxn],tot;
int mu[maxn];

inline int calcmu(long long n){
    if(n<maxn)    return mu[n];
    long long sqt=sqrt(n);
    long long now=n;int ans=;
    for(int j=;j<=tot;++j){
        int i=prime[j];
        if(i>sqt)    break;
        if(now%i)    continue;
        int cnt=;
        while((now%i)==){
            cnt++;    now/=i;
            if(cnt>)    return ;
        }
        ans++;
    }
    if(now>)    ans++;
    if(ans&)    return -;
    else         return ;
}

int main(){
    mu[]=vis[]=;
    for(int i=;i<maxn;++i){
        if(vis[i]==){
            prime[++tot]=i;
            mu[i]=-;
        }
        for(int j=;j<=tot&&prime[j]*i<maxn;++j){
            vis[i*prime[j]]=;
            if(i%prime[j])    mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            else            break;
        }
    }
    long long n=read(),ans=;
    int sqt=sqrt(n);
    for(int i=;i<=sqt;++i){
        if(n%i)    continue;
        long long d=n/i;long long now=;
        long long sar=sqrt(d);
        for(int j=;j<=sar;++j){
            if(d%j)    continue;
            now+=calcmu(j)*(n/(j*i));
            if(j*j==d)    continue;
            now+=calcmu(d/j)*(n/((d/j)*i));
        }
        ans+=now*i;

        if(1LL*i*i==n)    continue;
        long long ret=n/i;
        d=n/ret;now=;
        sar=sqrt(d);
        for(int j=;j<=sar;++j){
            if(d%j)    continue;
            now+=calcmu(j)*(n/(j*ret));
            if(j*j==d)    continue;
            now+=calcmu(d/j)*(n/((d/j)*ret));
        }
        ans+=now*ret;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return ;
}