AtCoder Beginner Contest 128 F - Frog Jump

题意

有一只青蛙，有\(0, 1, \cdots, N - 1\)个荷叶。每个荷叶上有权值\(s_i\)。

1. 选定\(A\), \(B\)，初始分数为\(0\)。
   
   当前位置为\(x\)：
2. 对于\(y = x + A\)：
   • 如果\(y = N - 1\)，游戏结束。
   • 如果\(y \neq N - 1\)，但是\(y\)这个荷叶存在，那么分数增加\(s_i\)，并且这片荷叶消失。
   • 如果\(y \neq N - 1\)，但是\(y\)这个荷叶不存在，那么分数减去\(10^{100}\)，游戏结束。
3. 对于\(y = x - B\)：
   • 如果\(y = N - 1\)，游戏结束。
   • 如果\(y \neq N - 1\)，但是\(y\)这个荷叶存在，那么分数增加\(s_i\)，并且这片荷叶消失。
   • 如果\(y \neq N - 1\)，但是\(y\)这个荷叶不存在，那么分数减去\(10^{100}\)，游戏结束。
     
     问选定最优的\(A\)、\(B\)的情况下，得到的最高分数为多少？

思路

我们考虑，选定了\(A\)、\(B\)后，青蛙的行走路线为：

\[\begin{eqnarray*}
0, A, A - B, A + (A - B), 2(A - B), \cdots, K(A - B), A + K(A - B)
\end{eqnarray*}
\]

我们令\(C = A - B\)：

\[\begin{eqnarray*}
0, A, C, A + C, 2C, \cdots, KC, A + KC
\end{eqnarray*}
\]

显然有：\(A + KC = N - 1\)：

\[\begin{eqnarray*}
0, N - 1 - KC, C, N - 1 - (K - 1)C, 2C, \cdots, KC, N - 1
\end{eqnarray*}
\]

那么当\(K\)、\(C\)确定的时候，行走路线就已经确定。

并且有一个限制条件为\(KC < N\)，那么显然枚举\(K\)、\(C\)是\(O(nlogn)\)的。

并且我们发现，当我们固定\(C\)，递增\(K\)的时候，行走路线的变化是这样的：

\[\begin{eqnarray*}
&&0, N - 1\\
&&0, N - 1 - C, C, N - 1\\
&&0, N - 1 - 2C, C, n - 1 - C, 2C, N - 1\\
\end{eqnarray*}
\]

每次增加的是\(N - 1 - KC\)和\(KC\)，这两个点，只需要加上就好了，并且要注意判断是否走到重复的点上了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define N 100010
int n;
ll s[N];
int used[N];

int main() {
	while (scanf("%d", &n) != EOF) {
		for (int i = 0; i < n; ++i) {
			scanf("%lld", s + i);
		}
		memset(used, 0, sizeof used);
		ll res = 0;
		for (int C = 1; C <= n; ++C) {
			ll tmp = 0;
			for (int k = 1; 1ll * k * C < n; ++k) {
				int a = k * C;
				int b = n - 1 - k * C;
				int A = b, B = b - C;
				if (A <= 0 || B <= 0) break;
				if (a < 0 || a >= n || b < 0 || b >= n || a == b) break;
				if (used[a] == C || used[b] == C) {
					break;
				}
				used[a] = C;
				used[b] = C;
				tmp += s[a];
				tmp += s[b];
				res = max(res, tmp);
			}
		}
		printf("%lld\n", res);
	}
	return 0;
}