（2016北京集训十）【xsy1528】azelso - 概率期望dp

北京集训的题都是好题啊~~（于是我爆0了）

注意到一个重要的性质就是期望是线性的，也就是说每一段的期望步数可以直接加起来，那么dp求出每一段的期望就行了。。。

设$f_i$表示从$i$出发不回到$i$直接到达终点的概率，显然期望步数就是$\frac{1}{f_i}$；

考虑转移，设下一个事件概率为$p$，则

如果下一个事件是敌人：$f_i=f_{i+1}*p$

如果下一个事件是旗子：

$f_{i}=(1-p)*(1-f_{i+1})*(1+p*(1-f_{i+1})+p^{2}*(1-f_{i+1})^{2}+...)=(1-p)*\frac{1-f_{i+1}}{1-p*(1-f_{i+1})}$

第二个式子的表示的是下一次被打死并且没拿到旗子的概率；

但是还有一点小问题:$1-p*(1-f_{i+1})$可能为0

稍微变形一下：$\frac{f_{i+1}}{p}=(1-p)*f_{i+1}+p$

代码：

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #define inf 2147483647
 #define eps 1e-9
 #define mod 1000000007
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 ll h,n,ans,p[],a,b,f[],inv[],op[];
 char ord[];
 ll fastpow(ll x,ll y){
     int ret=;
     for(;y;y>>=,x=x*x%mod){
         if(y&)ret=ret*x%mod;
     }
     return ret;
 }
 int main(){
     scanf("%lld%lld",&h,&n);
     for(int i=;i<=n;i++){
         scanf("%s",ord);
         if(ord[]=='F')op[i]=;
         else op[i]=;
         scanf("%lld%lld%lld",&p[i],&a,&b);
         inv[i]=a*fastpow(b,mod-)%mod;
     }
     f[n]=;
     ans=h-p[n];
     for(int i=n-;i>=;i--){
         if(op[i+])f[i]=f[i+]*fastpow(inv[i+],mod-)%mod;
         else f[i]=((mod+-inv[i+])*f[i+]%mod+inv[i+])%mod;
         ans=(ans+(p[i+]-p[i]+mod)%mod*f[i]%mod)%mod;
     }
     printf("%lld",ans);
     return ;
 }