【BZOJ1096】【ZJOI2007】仓库建设（斜率优化，动态规划）

题面

Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内

陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象

部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于

地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库

的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设

置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，

假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到

以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用

Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

0 5 10

5 3 100

9 6 10

Sample Output

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

题解

很明显的斜率优化

先把暴力的$O(n^{2})$写出来

	for(int i=1;i<=n;++i)

		for(int j=0;j<i;++j)

			f[i]=min(f[i],f[j]+C[i]+(s[i]-s[j])-1ll*(x[i]-x[j])*p[j]);

然后拆公式。。。

我好懒呀。。。这题不想写公式了（其实是比较长）

把上面的转移再设出来两个$j,k$比较转移即可

具体怎么搞看斜率优化

直接上代码把。。。

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define MAX 1001000

inline int read()

{

	register int x=0,t=1;

	register char ch=getchar();

	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

	if(ch=='-'){t=-1;ch=getchar();}

	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}

	return x*t;

}

int n,x[MAX],p[MAX],C[MAX];

long long s[MAX],f[MAX],mm[MAX];

int h,t,Q[MAX];

double count(int j,int k)

{

	return 1.0*((f[j]-mm[j])-(f[k]-mm[k]))/(p[j]-p[k]);

}

int main()

{

	n=read();

	for(int i=1;i<=n;++i)

		x[i]=read(),p[i]=read(),C[i]=read();

	for(int i=1;i<=n;++i)p[i]+=p[i-1];

	for(int i=1;i<=n;++i)s[i]=s[i-1]+(x[i]-x[i-1])*1ll*p[i-1];

	for(int i=1;i<=n;++i)mm[i]=s[i]-1ll*x[i]*p[i];

	for(int i=1;i<=n;++i)f[i]=1e18;

	/*

	for(int i=1;i<=n;++i)

		for(int j=0;j<i;++j)

			f[i]=min(f[i],f[j]+C[i]+(s[i]-s[j])-1ll*(x[i]-x[j])*p[j]);

	*/

	for(int i=1;i<=n;++i)

	{

		while(h<t&&count(Q[h],Q[h+1])<=x[i])h++;

		int j=Q[h];

		f[i]=f[j]+C[i]+(s[i]-s[j])-1ll*(x[i]-x[j])*p[j];

		while(h<t&&count(Q[t-1],Q[t])>=count(Q[t-1],i))t--;

		Q[++t]=i;

	}

	printf("%lld\n",f[n]);

	return 0;

}