[TJOI2015] 棋盘

Description

为了提高智商,ZJY去新世界旅游了。可是旅游过后的ZJY杯具的发现要打开通往原来世界的门,必须要解开门上面画的谜题。谜题是这样的:有个\(n\)行\(m\)列的棋盘,棋盘上可以放许多特殊的棋子。每个棋子的攻击范围是\(3\)行,\(p\)列。输入数据用一个\(3\times p\)的矩阵给出了棋子攻击范围的模板,棋子被默认为模板中的第\(1\)行,第\(k\)列,则棋子能攻击到的位置是\(1\),不能攻击到的位置是\(0\)。\(1\leq p\leq m,0\leq k<p\)。输入数据保证第\(1\)行第\(k\)列的位置是\(1\)。打开门的密码就是,在要求棋子互相不能攻击到的前提下,摆放棋子的方案数。注意什么棋子都不摆放也算作一种可行方案。由于方案数可能很大,而密码为\(32\)位的二进制密码,所以ZJY仅需要知道方案数对\(2^{32}\)取余数的结果即可。

Input

输入数据的第一行为两个整数\(n\)和\(m\),表示棋盘的大小。第二行为两个整数\(p\)和\(k\),表示接下来的攻击范围模板的大小,以及棋子在模板中的位置。接下来三行,每行有\(P\)个数,表示攻击范围的模版。每个数字后有一个空格。

Output

输出数据仅有一行,一个整数,表示可行的方案数模\(2^{32}\)的余数。

Range

对于\(10\%\)，\(1 \leq n \leq 5,1 \leq m \leq 5\)

对于\(50\%\)，\(1 \leq n \leq 1000,1 \leq m \leq 6\)

对于\(100\%\)，\(1\leq n\leq 1000000,1\leq m\leq 6\)

Solution

恶心题。

被这题卡了一天。

首先注意到它的行和列是从 \(0\) 开始标号的，所以第 \(1\) 行第 \(p\) 列其实是中间一行的某一列。

预处理出所有能摆放和两行之间能转移的情况。

这里要用位运算，最开始拿数组模拟每位弄了半天还是错的，用位运算一下就出来了。

观察到转移可以用矩阵加速，于是一个矩阵快速幂敲上去就行了。

注意最后求答案矩阵的时候要新开一个数组不能直接在 \(f\) 数组上面求！

Code

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#define int unsigned long long

int maxn;
int mp[5];
int n,m,p,k;
bool vis[105];
int f[70][70];
const int mod=4294967296;

struct Matrix{
    int a[100][100];

    void clear(){
        memset(a,0,sizeof a);
    }

    void init(){
        for(int i=0;i<maxn;i++)
            a[i][i]=1;
    }

    Matrix operator*(const Matrix &x)const{
        Matrix z; z.clear();
        for(int i=0;i<maxn;i++){
            for(int j=0;j<maxn;j++){
                for(int k=0;k<maxn;k++){
                    z.a[i][j]+=(x.a[i][k]*a[k][j])%mod;
                    z.a[i][j]%=mod;
                }
            }
        }
        return z;
    }

    void print(){
        for(int i=0;i<maxn;i++){
            for(int j=0;j<maxn;j++)
                printf("i=%lld,j=%lld,a=%lld\n",i,j,a[i][j]);
        }
        puts("");
        for(int i=0;i<maxn;i++){
            for(int j=0;j<maxn;j++)
                printf("%lld",a[i][j]);
            puts("");
        }
    }
}M;

void read(int &x){
    x=0; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
}

bool check(int x){
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(x&(1<<i-1)){
			if(p-k+1<=i){
				if((x&(mp[2]<<(i+k-p-1)))!=(1ll<<(i-1))){
					//printf("x=%lld,i=%lld\n",x,i);
					//printf("i-1=%lld,1<<i-1=%lld\n",i-1,1<<i-1);
					//printf("i+k-p-1=%lld,mp[2]<<=%lld,x&=%lld,1<<=%lld\n",i+k-p-1,mp[2]<<i+k-p-1,x&(mp[2]<<i+k-p-1),1ll<<(i-1));
					return 0;
				}
			}
			else{
				if((x&(mp[2]>>(p-k+1-i)))!=(1ll<<i-1))
					return 0;
			}
		}
	}
	return 1;
}

bool judge(int x,int y){
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(x&(1<<i-1)){
			if(p-k+1<=i){
				if((y&(mp[3]<<(i+k-p-1))))
					return 0;
			}
			else{
				if((y&(mp[3]>>(p-k+1-i))))
					return 0;
			}
		}
		if(y&(1<<i-1)){
			if(p-k+1<=i){
				if((x&(mp[1]<<(i+k-p-1))))
					return 0;
			}
			else{
				if((x&(mp[1]>>(p-k+1-i))))
					return 0;
			}
		}
	}
	return 1;
}

Matrix ksm(Matrix a,int b,int c){
    Matrix ans; ans.init();
    while(b){
        if(b&1)
            ans=ans*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

void mul(int a[70][70],int b[70][70],int c[70][70])
{
    int ret[70][70];
    memset(ret,0,sizeof ret);
    for(int i=0;i<maxn;i++)
     for(int k=0;k<maxn;k++)
      for(int j=0;j<maxn;j++)
      {
           ret[i][j]=(ret[i][j]+a[i][k]*b[k][j]%mod)%mod;
      }
    memcpy(c,ret,sizeof ret);
}

int a[70][70];
int ans[70][70];

void qm(int y)
{
	for(int i=0;i<maxn;i++)
		ans[i][i]=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) mul(ans,a,ans);
        mul(a,a,a);
        y>>=1;
    }
}

signed main(){
    read(n),read(m),read(p),read(k); k++;
    maxn=1<<m;
    for(int i=1;i<=3;i++){
        for(int x,j=1;j<=p;j++){
            read(x);
            if(x)
            	mp[i]|=1<<p-j;
        }
    }
   Matrix aa; aa.clear();
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        if(check(i)){
            vis[i]=1,f[0][i]=1;
            //printf("i=%lld\n",i);
        }
    }
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        for(int j=0;j<maxn;j++){
            if(vis[i] and vis[j]){
                if(judge(i,j)){
                    //printf("i=%lld,j=%lld\n",i,j);
                    aa.a[j][i]=1;
                }
            }
        }
    }
    /*for(int i=0;i<maxn;i++)
        a[0][i]=a[i][0]=1;*/
    //aa.print();
    Matrix b=ksm(aa,n-1,mod);
    int c[70][70]; memset(c,0,sizeof c);
    for(int i=0;i<maxn;i++){
    	for(int j=0;j<maxn;j++){
    		for(int k=0;k<maxn;k++)
    			(c[i][j]+=f[i][k]*b.a[k][j])%=mod;
    	}
    }
    /*qm(n-1);
    mul(f,ans,ans);*/
    int sum=0;
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        for(int j=0;j<maxn;j++)
            (sum+=c[i][j])%=mod;
    }
    printf("%llu\n",sum%mod);
    return 0;
}