[PKUSC2018]最大前缀和（状压DP）

题目大意：求给定的 $n$ 个数的所有排列的最大前缀和（不能为空）之和对 $10^9+7$ 取模的值。

$1\le n\le 20,1\le\sum|a_i|\le 10^9$。

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神级DP。杂题选讲的神级毒瘤讲题人CDW讲的。

考虑一个集合 $S$ 能作为最大前缀和出现的方案数。（即贡献系数）

发现前 $|S|$ 个数满足最大前缀和是整个序列，后 $n-|S|$ 个数满足最大前缀和 $<0$。（虽然 $\le 0$ 也行，但为了避免重复统计就要 $<0$）

设 $f[S]$ 为在 $S$ 的所有排列中，最大前缀和 $<0$ 的个数。

设 $g[S]$ 为在 $S$ 的所有排列中，最大前缀和 $=sum[S]$ 的个数。（$sum$ 是和）

$f[S]=\begin{cases}0&sum[S]\ge 0\\ \sum\limits_{i\in S}f[S-\{i\}]&sum[S]<0\end{cases}$

初始 $f[0]=1$。

解释一下，如果 $sum[S]\ge 0$，那么最大前缀和不会小于 $0$。否则枚举最后一个数，当且仅当前面的最大前缀和 $<0$ （或者前面没有数，所以 $f[0]=1$）且 $sum[S]<0$ 时才可以。第二个条件已经保证满足了。

$g[S]\rightarrow g[S+(1<<i)](sum[S]\ge 0,i\notin S)$

初始 $g[\{i\}]=1$。

解释一下，考虑从已有状态扩展，枚举在 $S$ 前加一个数 $i$，当且仅当 $S$ 最大前缀和是自己时，新序列最大前缀和才是自己。、

答案为 $\sum sum[S]g[S]f[U-S]$。

时间复杂度 $O(n2^n)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline int read(){
    char ch=getchar();int x=,f=;
    while(ch<'' || ch>'') f|=ch=='-',ch=getchar();
    while(ch>='' && ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
int n,a[],ans,f[],g[];
ll S[];
int main(){
    n=read();
    FOR(i,,n-) a[i]=read(),g[<<i]=;
    FOR(i,,(<<n)-) FOR(j,,n-) if((i>>j)&) S[i]+=a[j];
    f[]=;
    FOR(i,,(<<n)-){
        if(S[i]>=){FOR(j,,n-) if(!((i>>j)&)) g[i|(<<j)]=(g[i|(<<j)]+g[i])%mod;}
        else FOR(j,,n-) if((i>>j)&) f[i]=(f[i]+f[i^(<<j)])%mod;
    }
    FOR(i,,(<<n)-) ans=(ans+1ll*(S[i]+mod)%mod*g[i]%mod*f[((<<n)-)^i])%mod;
    printf("%d\n",ans);
}