【洛谷5369】[PKUSC2018] 最大前缀和（状压DP）

点此看题面

大致题意： 对于一个序列，求全排列下最大前缀和之和。

状压\(DP\)

考虑如果单纯按照题目中对于最大前缀和的定义，则一个序列它的最大前缀和是不唯一的。

为了方便统计，我们姑且规定，如果一个序列中存在多个最大前缀和，我们取最靠后的一个。

由此我们想到，对于一个序列可以把它分为两部分\([1,k]\)和\([k+1,n]\)满足：

• \([1,k]\)是\([1,k]\)本身的最大前缀和。
• \([k+1,n]\)内所有前缀和均小于\(0\)。

显然，由于\([1,k]\)是其本身的最大前缀和，而其之后每一段前缀和都小于\(0\)，因此它就是整个序列的最大前缀和。

设\([1,k]\)区间的点集为\(i\)，\(s_i\)为点集\(i\)内数的和（注意，此处的和不取模，要开\(long\ long\)存储），\(f_i\)为点集\(i\)排列成的序列是其本身的最大前缀和的方案数，\(g_i\)为点集\(i\)排列成的序列所有前缀和均小于\(0\)的方案数（易发现，\(f\)和\(g\)分别对应上面的两个条件）。

则答案就是\(\sum s_i\cdot f_i\cdot g_{2^{n-1}\ xor\ i}\)（结合前文自行理解）。

\(DP\)转移

考虑\(DP\)如何转移。

对于\(f_i\)，我们可以枚举一个不在点集\(i\)中的点\(j\)。

如果把\(j\)放在点集\(i\)排列成的序列的最后面，显然不太好转移，也无法利用\(f\)本身的性质。

但如果我们把\(j\)放在点集\(i\)排列成的序列的最前面，则只要\(s_i\ge 0\)，显然有：

• \(a_j\le a_j+s_i\)。
• 对于除\(a_j\)外的其他前缀\(sum\)，由于在\(f_i\)中满足\(sum\le s_i\)，所以\(a_j+sum\le a_j+s_i\)必然满足。

也就是说，在\(s_i\ge 0\)时，可以保证此时点集排列成的序列是其本身的最大前缀和。

因此，\(f_{i|2^{j-1}}+=f_i\)。

对于\(g_i\)，我们同样枚举一个不在点集\(i\)中的点\(j\)。

与之前不同，这次我们可以直接把点\(j\)放在点集\(i\)排列成的序列的最后面。

因为在\(g_i\)中满足所有前缀和均小于\(0\)，此时在序列最后面新添了一个点，并不会影响之前的前缀和。

而新添出的这个前缀和，就是这个序列的和，即\(s_{i|2^{j-1}}\)。

很显然，若要满足条件，当且仅当\(s_{i|2^{j-1}}<0\)。

也就是说，在\(s_{i|2^{j-1}}<0\)时，可以保证此时点集排列成的序列所有前缀和均小于\(0\)。

因此，\(g_{i|2^{j-1}}+=g_i\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 20
#define X 998244353
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=X&&(x-=X))
using namespace std;
int n,a[N+5],f[1<<N],g[1<<N];long long s[1<<N];
int main()
{
	RI i,j,t,ans=0;for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%d",a+i);//读入
	for(t=1<<n,i=0;i^t;++i) for(j=1;j<=n;++j) (i>>j-1)&1&&(s[i]+=a[j]);//预处理s[i]
	for(f[0]=1,i=0;i^t;++i) for(j=1;j<=n;++j) !((i>>j-1)&1)&&s[i]>=0&&Inc(f[i|(1<<j-1)],f[i]);//DP转移f[i]
	for(g[0]=1,i=0;i^t;++i) for(j=1;j<=n;++j) !((i>>j-1)&1)&&s[i|(1<<j-1)]<0&&Inc(g[i|(1<<j-1)],g[i]);//DP转移g[i]
	for(i=0;i^t;++i) ans=((s[i]%X+X)%X*f[i]%X*g[(t-1)^i]+ans)%X;return printf("%d",ans),0;//统计答案
}