BZOJ_5369_[Pkusc2018]最大前缀和_状压DP

BZOJ_5369_[Pkusc2018]最大前缀和_状压DP

Description

小C是一个算法竞赛爱好者，有一天小C遇到了一个非常难的问题：求一个序列的最大子段和。

但是小C并不会做这个题，于是小C决定把序列随机打乱，然后取序列的最大前缀和作为答案。

小C是一个非常有自知之明的人，他知道自己的算法完全不对，所以并不关心正确率，他只关心求出的解的期望值，

现在请你帮他解决这个问题，由于答案可能非常复杂，所以你只需要输出答案乘上n!后对998244353取模的值，显然这是个整数。

注：最大前缀和的定义：i∈[1,n],Sigma(a_j)的最大值,其中1<=j<=i

Input

第一行一个正整数nnn，表示序列长度。

第二行n个数，表示原序列a[1..n]，第i个数表示a[i]。

1≤n≤20,Sigma(|Ai|)<=10^9,其中1<=i<=N

Output

输出一个非负整数，表示答案。

Sample Input

2
-1 2

Sample Output

3

---

设f[i]表示选择的数的状态为i，有多少个排列满足全选是最大的前缀和。

设sum[i]表示选择的数的状态为i的和。

设g[i]表示选择的数的状态为i，有多少个排列满足任意前缀和都小于等于0。

那么答案=$\sum sum[i]*f[i]*g[mask-i]$。

考虑由f[i]推出f[i|(1<<j-1)]。相当于在序列前面加上一个数，保证所有前缀都大于0，这个数就可以加进去。

由g[i]推出g[i|(1<<j-1)]，相当于在后面加上一个数使得总和仍小于等于0。

DP即可。

 

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define mod 998244353
typedef long long ll;
int a[22],n;
ll sum[1<<20],f[1<<20],g[1<<20];
void dfs(int dep,int sta,ll s) {
    if(dep==n) {sum[sta]=s; return ;}
    dfs(dep+1,sta|(1<<dep),s+a[dep+1]);
    dfs(dep+1,sta,s);
}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    int i,mask=(1<<n)-1,j;
    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),f[1<<(i-1)]=1;
    dfs(0,0,0); f[0]=g[0]=1;
    for(i=0;i<=mask;i++) {
        for(j=1;j<=n;j++) {
            if(!(i&(1<<(j-1)))) {
                if(sum[i]>0) f[i|(1<<(j-1))]=(f[i|(1<<(j-1))]+f[i])%mod;
                if(sum[i]+a[j]<=0) g[i|(1<<(j-1))]=(g[i|(1<<(j-1))]+g[i])%mod;
            }
        }
    }
    ll ans=0;
    for(i=0;i<=mask;i++) ans=(ans+sum[i]*f[i]%mod*g[mask-i]%mod+mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
}