图像处理中的valid卷积与same卷积

valid卷积

在full卷积的卷积过程中，会遇到\(K_{flip}\)靠近I的边界（K矩阵与I矩阵），就会有部分延申到I之外，这时候忽略边界，只考虑I完全覆盖\(K_{flip}\)内的值情况,这个的过程就是valid卷积。一个高为H1，宽为W1的矩阵I与高为H2,宽为W2的矩阵K,在H1大于等于H2，W1大于等于W2的情况下，valid卷积的结果就是一个（H1-H2+1）*（W-W+1）的矩阵\(C_{valid}\)。

\[C_{valid}与C_{full}的对应关系为： C_{valid} = C_{full}( Rect (W_{2}-1,H_{2}-1,W_{1}-W_{2}+1,H_{1}-H_{2}+1) )
\]

same卷积

无论是full卷积还是valid卷积都不会得到正好的尺寸，要么比原尺寸大要么比原尺寸小，这时就需要same卷积来解决这个问题。若想得到宽和高都正好的矩阵我们首先需要给\(K_{flip}\)一个锚点，将锚点放在（循环）图像矩阵的（r,c）处，（（r,c）在矩阵之内），将对应位置的元素逐个相乘，最终将所有的积进行求和作为输出图像矩阵在（r,c）处的输出值。这个过程称为same卷积。

OpenCv函数copyMakeBorder的参数表

参数	解释
src	输入矩阵
dst	输出矩阵
top	上侧扩充的行数
bottom	下侧扩充的行数
left	左侧扩充的行数
right	右侧扩充的行数
borderType	边界扩充的类型
value	border Type= BORDER_CONSTANT事的常数

其中borderType有多种类型，比如：BORDER_REPLICATE(边界复制)、BORDER_CONSTANT(常数扩充)、BORDER_REFLECT(反射扩充)等。

在使用Python进行卷积操作时用到包Scipy，其中有关的操作函数为convolve2d(in1,in2,mode='full',boundary='fill',fillvalue=0)

参数	解释
in1	输入数组
in2	输入数组，代表K（卷积算子）
mode	卷积类型，也就是以上提到的三种类型:full,valid,same
boundary	边界填充：fill\wrap\symm
fillvalue	当boundary='fill'时，设置边界填充的值，默认为0

在这里需要注意的是当model为same时卷积算子的锚点位置由不同尺寸而不同，假设K(卷积算子)的宽和高分别为W、H。

W和H的值	锚点位置
均为奇数	默认为中心点
H为偶数、W为奇数	(H-1,（W-1)/2）
H为奇数，W为偶数	((H-1)/2，W-1）
均为偶数	(H-1,W-1)

代码实现：

import numpy as np
from scipy import signal

if __name__ == "__main__":

    I = np.array([[5,6],[7,8],np.float32])
    #I的高和宽
    H1,W1 = I.shape[:2]
    #卷积算子
    k = np.array([[-1,-2],[2,1],np.float32])
    #K的宽和高
    H2,W2 = k.shape[:2]
    #计算full卷积
    c_full = signal.convolve2d(I,k,mode='full')
    #设定锚点
    r,c = 0,0
    #根据锚点来从full卷积中截取same卷积
    c_same= c_full[H2-r-1:H1-r-1,W2-c-1:W1+W2-c-1]