Direct3D-3 四元数

    其实本来这篇文章是打算接上篇的各种变化矩阵的推导了，想了想，还是先讲四元数吧。本人的文章并不会提到欧拉角，因为我自己没弄懂欧拉角的万向锁问题。

    很多人学习数学时，会有这样一个疑惑，这东西有什么用。那四元数是用来干什么的。四元数是由哈密顿在1843年发现的，但是直到1985年Shoemake才将其引入计算机图形学，四元数的作用极其简单，用来表示3D物体的方位及旋转

    一个3D物体放在世界中，只有一个位置坐标是不够的，这样意味着他总是朝着某一个方向。比如说，我们的头，我们可以摇头，点头，左右卖萌。在三个方向上有3个不同的旋转角度，来确定这个物体的摆向

 

    但是这不意味着描述方位和旋转只需要3个量就可以了吗，为什么是四元数而不是三元数？至于这个问题，我不讨论，事实上用3个角度描述方位的办法叫做 "欧拉角"。欧拉角带有各种天生的缺陷，他唯一的优点是比四元数节省（32bit？）。这种形式上的内存节省毫无必要，xnamath的数学库里用的最多的还是xmvector，4个float。但是问题是我们怎么用4个量来描述3个轴上的问题，当然，这时候要请动数学出山

    理解四元数并不需要真的在3D中去理解，我们可以降维到2D中，2D中是什么，2D中是复数，复数这东西想必大家都学过，也了解各种各样的运算法则，但是你可能错过了复数的一些有意思的地方，容我讲解

    (基础的复数知识请自习补充)

    复数在复平面中是一个点,所以我们可以使用极坐标来表示

    我们现在 把两个复数乘起来，但是是以极坐标的方式，，

    

我们使 R2 = 1，，事实上这个式子表示了 绕z1旋转 θ2度的结果！如下图所示

事实上 ，一个复数乘上一个单位复数（模等于1）的结果等于该复数绕单位复数与x轴所成的角度旋转，我们把Z2 作用到了Z1 上面，那么如此同理的结论我们可以推到四元数上面，让我们来看看四元数是在怎么定义的.

四元数和复数差不了太多，唯一的区别是他有三个虚部，他和复数的运算规则大同小异，下图是他的数学定义

那么最重要的当然是两个四元数相乘：

    

一些其他的数学操作：

当然，我们用其表示旋转的时候，是个单位四元数，其模等于 1，也就是说可以写成下面这种形式

    我们还可以根据欧拉公式推出log和pow运算 这样推出

上面的两个公式的意义不大，因为我学习四元数的时候压根没学到过这个，不过也可以作为补充了。

有人会对下面这个式子表示疑惑，这个Uq是什么，还有φ是多少度，给张直观的几何图帮助大家理解

这个变换实际上是绕着这个轴旋转了两倍的角度

 

当然还有一个细节是，与复数不同的是，旋转并不是只乘上一个四元数就可以收工了的，而是这样的：，但是比较难的一点是我们不能从需要绕Uq轴旋转两倍角度推导出这个式子，而是要从这个式子推导出这个P旋转了两倍角度这样一个事实。对了，还忘记了没讲Uq是怎么推导的。现在给出一下

解：

    因为是个单位向量，所以，这表明了。值得注意的是旋转角度只需要从0-π就行了。事实上就是我们找一个映射 f = ，从区间[0,π] → 区间[-1,1].我们很容易能找到这样一个函数,那就是cos θ,故 = cos θ

再根据三角公式 可以推出 .于是很显然的,我们可以推出 Uq,也就是旋转轴

(这里的n 就是 Uq)

当然，共轨就可以是 。

 

让我们回到开始的那个式子，构造一下这个乘积 。为了简单化，我们让p的第4分量等于0，这表示他是个点

 

实数部分非常简单，算出来的结果妥妥的是 0 ，不信的话自己可以代入计算。但好像还是有一部分智商拙计，还是给出推导过程吧

因为 正交，所以 。不要问我为什么正交。

虚数部分的式子更长一些，还是给出比较好，当然大家能自己再运算一到是再好不过的，没有扎实的数学基础，可很难学好图形学哦

至此，我们已经得到了结果

，再和代入计算

再和 代入计算

。事实上。我们需要借组一个现有的公式，就是绕n旋转v的公式是什么

。事实上，可以看出，就是旋转了2倍 角度。至于是怎么来的，以后再说吧

 

这一小节暂时到此结束，下一节将讲述 四元数与其对应矩阵的相互转换，已经矩阵的相关知识。附加四元数插值，还有一些变换的特性

 

如有错误，请大家批评指出，本文章公式的图片来自Introduction to 3DGame Programming with DirectX11 和Real-Time Rending