BZOJ2460 [BeiJing2011]元素【线性基】

2460: [BeiJing2011]元素

Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 1675 Solved: 869
[Submit][Status][Discuss]

Description

相传，在远古时期，位于西方大陆的 Magic Land 上，人们已经掌握了用魔
法矿石炼制法杖的技术。那时人们就认识到，一个法杖的法力取决于使用的矿石。
一般地，矿石越多则法力越强，但物极必反：有时，人们为了获取更强的法力而
使用了很多矿石，却在炼制过程中发现魔法矿石全部消失了，从而无法炼制
出法杖，这个现象被称为“魔法抵消” 。特别地，如果在炼制过程中使用超过
一块同一种矿石，那么一定会发生“魔法抵消”。
后来，随着人们认知水平的提高，这个现象得到了很好的解释。经过了大量
的实验后，著名法师 Dmitri 发现：如果给现在发现的每一种矿石进行合理的编
号（编号为正整数，称为该矿石的元素序号），那么，一个矿石组合会产生“魔
法抵消”当且仅当存在一个非空子集，那些矿石的元素序号按位异或起来
为零。（如果你不清楚什么是异或，请参见下一页的名词解释。）例如，使用两
个同样的矿石必将发生“魔法抵消”，因为这两种矿石的元素序号相同，异或起
来为零。
并且人们有了测定魔力的有效途径，已经知道了：合成出来的法杖的魔力
等于每一种矿石的法力之和。人们已经测定了现今发现的所有矿石的法力值，
并且通过实验推算出每一种矿石的元素序号。
现在，给定你以上的矿石信息，请你来计算一下当时可以炼制出的法杖最多
有多大的魔力。

Input

第一行包含一个正整数N，表示矿石的种类数。
接下来 N行，每行两个正整数Numberi 和 Magici，表示这种矿石的元素序号
和魔力值。

Output

仅包一行，一个整数：最大的魔力值

Sample Input

3

1 10
2 20
3 30

Sample Output

HINT

由于有“魔法抵消”这一事实，每一种矿石最多使用一块。

如果使用全部三种矿石，由于三者的元素序号异或起来：1 xor 2 xor 3 = 0 ，

则会发生魔法抵消，得不到法杖。

可以发现，最佳方案是选择后两种矿石，法力为 20+30=50。

对于全部的数据：N ≤ 1000，Numberi ≤ 10^18

，Magici ≤ 10^4

。

题目要我们求出编号异或不出0的最大权值和

显然线性基可以为这样的异或问题提供很好的优化

我们按权值大到小依次插入线性基，如果插入成功，即当前线性基通过异或不能使当前编号为0，说明没有矛盾，而当前元素也是当前未插入最小的，所以可以贪心插入，最后的权值就是最大的

通过这道题，对线性基的理解更深了一步。

线性基一般解决的都是与异或有关的选择、组合问题，通常要求最值，就可以通过线性基优化，贪心选择了

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define LL long long int

#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)

#define Redge(u) for (int k = head[u]; k != -1; k = edge[k].next)

using namespace std;

const int maxn = 1005,maxm = 100005,INF = 1000000000;

inline LL RD(){

	LL out = 0,flag = 1; char c = getchar();

	while (c < 48 || c > 57) {if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}

	while (c >= 48 && c <= 57) {out = (out << 1) + (out << 3) + c - '0'; c = getchar();}

	return out * flag;

}

LL bin[65],A[65];

int N,ans = 0;

struct node{LL id; int v;}e[maxn];

inline bool operator <(const node& a,const node& b){return a.v > b.v;}

int main(){

	bin[0] = 1;REP(i,60) bin[i] = bin[i - 1] << 1;

	N = RD();

	REP(i,N) e[i].id = RD(),e[i].v = RD();

	sort(e + 1,e + 1 + N);

	for (int i = 1; i <= N; i++){

		for (LL j = 60; j >= 0; j--){

			if (e[i].id & bin[j]){

				if (!A[j]) {A[j] = e[i].id;break;}

				else e[i].id ^= A[j];

			}

		}

		if (e[i].id) ans += e[i].v;

	}

	cout<<ans<<endl;

	return 0;

}